Номер 12, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (1)

a) $2\sin\frac{2x}{3} + 3\sqrt{2} = 0;$

б) $\sin\frac{x}{2} = \sqrt{17} - 3;$

в) $\sin 2x - \sqrt{15} = -3;$

г) $8\sin\left(x + \frac{\pi}{13}\right) = -2\pi.$

а) $2\sin\frac{2x}{3}+3\sqrt{2}=0$

Перенесем $3\sqrt{2}$ в правую часть и разделим обе части на 2, чтобы выразить синус:

$2\sin\frac{2x}{3} = -3\sqrt{2}$

$\sin\frac{2x}{3} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Область значений функции синус – это отрезок $[-1, 1]$. Оценим значение в правой части уравнения. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $-\frac{3\sqrt{2}}{2} \approx -\frac{3 \cdot 1.414}{2} = -2.121$.

Так как $-2.121 < -1$, значение $-\frac{3\sqrt{2}}{2}$ не входит в область значений синуса. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: Корней нет.

б) $\sin\frac{x}{2}=\sqrt{17}-3$

Область значений функции синус – это отрезок $[-1, 1]$. Оценим значение выражения в правой части уравнения.

Мы знаем, что $16 < 17 < 25$, следовательно $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, что равносильно $4 < \sqrt{17} < 5$.

Вычтем 3 из всех частей двойного неравенства: $4 - 3 < \sqrt{17} - 3 < 5 - 3$, откуда получаем $1 < \sqrt{17} - 3 < 2$.

Так как $\sqrt{17} - 3 > 1$, это значение не входит в область значений синуса. Следовательно, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: Корней нет.

в) $\sin 2x-\sqrt{15}=-3$

Выразим синус, перенеся $\sqrt{15}$ в правую часть:

$\sin 2x = \sqrt{15}-3$

Оценим значение выражения в правой части. Мы знаем, что $9 < 15 < 16$, следовательно $\sqrt{9} < \sqrt{15} < \sqrt{16}$, что равносильно $3 < \sqrt{15} < 4$.

Вычтем 3 из всех частей двойного неравенства: $3 - 3 < \sqrt{15} - 3 < 4 - 3$, откуда получаем $0 < \sqrt{15} - 3 < 1$.

Значение $\sqrt{15} - 3$ находится в интервале $(0, 1)$, который входит в область значений синуса $[-1, 1]$. Следовательно, уравнение имеет решения.

Общее решение уравнения $\sin t = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x$ и $a = \sqrt{15}-3$.

$2x = (-1)^k \arcsin(\sqrt{15}-3) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{(-1)^k}{2} \arcsin(\sqrt{15}-3) + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{(-1)^k}{2}\arcsin(\sqrt{15}-3) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

г) $8\sin\left(x+\frac{\pi}{13}\right)=-2\pi$

Разделим обе части уравнения на 8, чтобы выразить синус:

$\sin\left(x+\frac{\pi}{13}\right) = -\frac{2\pi}{8} = -\frac{\pi}{4}$

Оценим значение выражения в правой части. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$-\frac{\pi}{4} \approx -\frac{3.14159}{4} \approx -0.7854$

Так как $-1 \le -0.7854 \le 1$, значение $-\frac{\pi}{4}$ входит в область значений синуса, и уравнение имеет решения.

Общее решение уравнения $\sin t = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = x+\frac{\pi}{13}$ и $a = -\frac{\pi}{4}$.

$x + \frac{\pi}{13} = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Используем свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$:

$x + \frac{\pi}{13} = (-1)^k \left(-\arcsin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) + \pi k = (-1)^{k+1}\arcsin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{13}$ в правую часть:

$x = -\frac{\pi}{13} + (-1)^{k+1}\arcsin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{13} + (-1)^{k+1}\arcsin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.