Номер 2, страница 135, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (1) а) $cos x = -\frac{1}{2}$;
б) $2 \cos(-3x) = 1$;
в) $2 \cos(\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{6}) + 1 = 0$;
г) $\cos(\frac{\pi}{6} - 2x) = -\frac{1}{2}$.

а)

Дано уравнение: $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\cos x = a$ находится по формуле $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\frac{1}{2}$.

Найдем значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу решения:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение: $2\cos(-3x) = 1$.

Сначала разделим обе части уравнения на 2: $\cos(-3x) = \frac{1}{2}$.

Функция косинуса является четной, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Поэтому уравнение можно переписать в виде: $\cos(3x) = \frac{1}{2}$.

Применим общую формулу решения для косинуса. Аргумент косинуса $3x$ равен:

$3x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$3x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 3:

$x = \frac{1}{3} \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение: $2\cos\left(\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$.

Выразим косинус из уравнения. Сначала перенесем 1 в правую часть:

$2\cos\left(\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = -1$.

Теперь разделим на 2:

$\cos\left(\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.

Аргумент косинуса $\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{6}$ должен быть равен:

$\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{6} = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Мы знаем, что $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$.

$\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Выразим $\frac{\pi x}{3}$:

$\frac{\pi x}{3} = -\frac{\pi}{6} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Разделим всё уравнение на $\pi$:

$\frac{x}{3} = -\frac{1}{6} \pm \frac{2}{3} + 2n$.

Умножим на 3, чтобы найти $x$:

$x = 3 \left( -\frac{1}{6} \pm \frac{2}{3} + 2n \right) = -\frac{1}{2} \pm 2 + 6n$.

Рассмотрим два случая:

1) $x = -\frac{1}{2} + 2 + 6n = \frac{3}{2} + 6n$.

2) $x = -\frac{1}{2} - 2 + 6n = -\frac{5}{2} + 6n$.

Ответ: $x = \frac{3}{2} + 6n, x = -\frac{5}{2} + 6n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение: $\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = -\frac{1}{2}$.

Используя свойство четности косинуса $\cos(\alpha) = \cos(-\alpha)$, можем переписать уравнение как $\cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$, чтобы было удобнее работать с переменной $x$.

Аргумент косинуса $2x - \frac{\pi}{6}$ равен:

$2x - \frac{\pi}{6} = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:

$2x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Выразим $2x$:

$2x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{12} \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Рассмотрим два случая:

1) $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} + \pi n = \frac{5\pi}{12} + \pi n$.

2) $x = \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} + \pi n = -\frac{3\pi}{12} + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{12} + \pi n, x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.