Номер 9, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (1)

a) $\cos \pi x = -\frac{1}{2}$;

б) $\cos (-2x) = -\frac{1}{2}$;

в) $2\cos \left(3x - \frac{\pi}{6}\right) = 1$;

г) $\cos \left(\frac{\pi}{4} - 3x\right) = -1$.

а) Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos(t) = a$. Общее решение для такого уравнения записывается по формуле $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число). В данном уравнении аргумент $t = \pi x$, а значение $a = \frac{1}{2}$. Находим арккосинус: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$. Теперь подставляем все значения в общую формулу решения: $\pi x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$. Чтобы найти $x$, необходимо разделить обе части уравнения на $\pi$: $x = \frac{\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k}{\pi}$. В результате получаем: $x = \pm \frac{1}{3} + 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{1}{3} + 2k, k \in \mathbb{Z}$.

б) В уравнении $\cos(-2x) = -\frac{1}{2}$ воспользуемся свойством четности функции косинус, которое гласит, что $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ для любого угла $\alpha$. Таким образом, наше уравнение эквивалентно уравнению $\cos(2x) = -\frac{1}{2}$. Это уравнение вида $\cos(t) = a$, где $t = 2x$ и $a = -\frac{1}{2}$. Находим значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$. Записываем общее решение для аргумента $2x$: $2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2: $x = \frac{\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k}{2}$. После деления получаем: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение $2\cos(3x - \frac{\pi}{6}) = 1$. Первым шагом изолируем тригонометрическую функцию. Для этого разделим обе части уравнения на 2: $\cos(3x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Получили уравнение вида $\cos(t) = a$, где $t = 3x - \frac{\pi}{6}$ и $a = \frac{1}{2}$. Арккосинус от $\frac{1}{2}$ равен $\frac{\pi}{3}$. Общее решение для аргумента $t$ имеет вид: $3x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Перенесем $-\frac{\pi}{6}$ в правую часть уравнения: $3x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$. Это выражение распадается на две серии решений.
1. Первая серия (со знаком «плюс»): $3x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$. Приводим дроби к общему знаменателю: $3x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Делим на 3, чтобы найти $x$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$.
2. Вторая серия (со знаком «минус»): $3x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$. Приводим дроби к общему знаменателю: $3x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$. Делим на 3, чтобы найти $x$: $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}; x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $\cos(\frac{\pi}{4} - 3x) = -1$. Это частный случай тригонометрического уравнения $\cos(t) = -1$. Общее решение для такого уравнения имеет вид $t = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае аргумент $t = \frac{\pi}{4} - 3x$. Приравниваем аргумент к общему решению: $\frac{\pi}{4} - 3x = \pi + 2\pi k$. Теперь последовательно выразим $x$. Сначала изолируем член с $x$: $-3x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$. Выполняем вычитание в правой части: $-3x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$. Наконец, для нахождения $x$ разделим обе части уравнения на -3: $x = -\frac{1}{3} \left( \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \right)$. Раскрывая скобки, получаем окончательный ответ: $x = -\frac{\pi}{4} - \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} - \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.