Номер 8, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Решите уравнение (8–12):

8. (1) а) $\cos x = -1$;

б) $\cos 2x = 0$;

В) $\cos \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = -1$;

Г) $\cos \left(\frac{\pi}{4} - 3x\right) = -1.

а) Дано уравнение $cos x = -1$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для данного случая определяется по формуле:

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

Это и есть окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $cos 2x = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение для уравнения $cos(t) = 0$ имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x$. Подставим это в формулу:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pi/2}{2} + \frac{\pi n}{2}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) = -1$.

Это уравнение является частным случаем $cos(t) = -1$, решение которого $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Пусть $t = 2x - \frac{\pi}{3}$. Тогда:

$2x - \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi n$

Выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$2x = \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = \frac{3\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$

Теперь разделим обе части на 2:

$x = \frac{4\pi/3}{2} + \frac{2\pi n}{2}$

$x = \frac{4\pi}{6} + \pi n$

$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right) = -1$.

Косинус — четная функция, то есть $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$. Используем это свойство, чтобы изменить знак аргумента:

$cos\left(-(\frac{\pi}{4}-3x)\right) = cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right) = -1$

Теперь решаем уравнение $cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right) = -1$. Это частный случай, где аргумент косинуса равен $\pi + 2\pi n$:

$3x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$. Перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:

$3x = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$3x = \frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$3x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{5\pi/4}{3} + \frac{2\pi n}{3}$

$x = \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$

Ответ: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.