Номер 13, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. (2) Решите уравнения, применив формулы приведения:

а) $2\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+1=0;$

б) $\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi x\right)=1;$

в) $\cos(\pi-3x)=\frac{2}{7};$

г) $14\sin\left(x+\frac{7\pi}{2}\right)=-\sqrt{98}.$

а) $2\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+1=0$

Применим формулу приведения для синуса: $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos(x)$.

Уравнение принимает вид:

$2\cos(x) + 1 = 0$

Выразим $\cos(x)$:

$2\cos(x) = -1$

$\cos(x) = -\frac{1}{2}$

Найдем решение для $x$:

$x = \pm\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi x\right)=1$

Применим формулу приведения: $\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) = -\cos(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 2\pi x$.

Уравнение принимает вид:

$-\cos(2\pi x) = 1$

$\cos(2\pi x) = -1$

Это частный случай, решение которого:

$2\pi x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на $2\pi$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{2\pi} + \frac{2\pi n}{2\pi}$

$x = \frac{1}{2} + n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{1}{2} + n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos(\pi-3x)=\frac{2}{7}$

Применим формулу приведения для косинуса: $\cos(\pi-\alpha) = -\cos(\alpha)$. В данном случае $\alpha = 3x$.

Уравнение принимает вид:

$-\cos(3x) = \frac{2}{7}$

$\cos(3x) = -\frac{2}{7}$

Найдем общее решение:

$3x = \pm\arccos\left(-\frac{2}{7}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$, разделив обе части на 3:

$x = \pm\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{2}{7}\right) + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{2}{7}\right) + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) $14\sin\left(x+\frac{7\pi}{2}\right)=-\sqrt{98}$

Сначала преобразуем аргумент синуса, выделив целое число оборотов ($2\pi$):

$\frac{7\pi}{2} = \frac{3\pi+4\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi$

Так как синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, то $\sin\left(x+\frac{7\pi}{2}\right) = \sin\left(x+\frac{3\pi}{2}+2\pi\right) = \sin\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)$.

Применим формулу приведения $\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right) = -\cos(x)$.

Также упростим правую часть уравнения: $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$.

Уравнение принимает вид:

$14(-\cos(x)) = -7\sqrt{2}$

$-14\cos(x) = -7\sqrt{2}$

Выразим $\cos(x)$:

$\cos(x) = \frac{-7\sqrt{2}}{-14} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Найдем решение для $x$:

$x = \pm\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.