Номер 1, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. Решите уравнения:

а) $\operatorname{tg} x = 0$;

б) $\operatorname{tg} x = 1$;

в) $\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$;

г) $\operatorname{tg} x = -4$;

д) $\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) Для решения уравнения $\tg x = 0$ используется общая формула $x = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = 0$. Поскольку арктангенс нуля равен нулю ($\arctan(0) = 0$), подставляем это значение в формулу: $x = 0 + \pi k$. Таким образом, решение: $x = \pi k$.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $\tg x = 1$ используется общая формула $x = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Здесь $a = 1$. Арктангенс единицы является табличным значением: $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$, так как $\tg(\frac{\pi}{4}) = 1$. Подставляем это значение в формулу и получаем решение: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Для решения уравнения $\tg x = -\sqrt{3}$ используется общая формула $x = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае $a = -\sqrt{3}$. Используем свойство нечетности функции арктангенс: $\arctan(-a) = -\arctan(a)$. Следовательно, $\arctan(-\sqrt{3}) = -\arctan(\sqrt{3})$. Табличное значение $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$. Таким образом, $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$. Подставив в общую формулу, получаем решение: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Для решения уравнения $\tg x = -4$ используется общая формула $x = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Здесь $a = -4$. Так как $-4$ не является стандартным табличным значением для тангенса, решение записывается через функцию арктангенса. Таким образом, $x = \arctan(-4) + \pi k$. Используя свойство нечетности арктангенса, это решение также можно записать в виде $x = -\arctan(4) + \pi k$.
Ответ: $x = \arctan(-4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д) Для решения уравнения $\tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ используется общая формула $x = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Это значение является табличным: $\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$, так как $\tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Подставляем найденное значение в общую формулу и получаем решение: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.