Номер 4, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. Решите уравнения:

a) $(tgx - \sqrt{3})(sinx + 1) = 0;$

б) $(2cosx + 1)(3ctgx + \sqrt{3}) = 0.$

а) Исходное уравнение: $(\operatorname{tg}x - \sqrt{3})(\sin x + 1) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (определен).

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется существованием тангенса. Функция $\operatorname{tg}x$ определена, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1. $\operatorname{tg}x - \sqrt{3} = 0$

$\operatorname{tg}x = \sqrt{3}$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n$, то есть $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию ОДЗ. Для этих значений $x$ косинус не равен нулю ($\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{3}+\pi) = -\frac{1}{2}$ и т.д.), поэтому эти решения являются корнями исходного уравнения.

2. $\sin x + 1 = 0$

$\sin x = -1$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. Если $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, то $\cos x = \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$. Это противоречит ОДЗ ($x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$). Следовательно, при этих значениях $x$ выражение $\operatorname{tg}x$ не определено, и эти корни являются посторонними.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $(2\cos x + 1)(3\operatorname{ctg}x + \sqrt{3}) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.

ОДЗ уравнения определяется существованием котангенса. Функция $\operatorname{ctg}x$ определена, когда $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1. $2\cos x + 1 = 0$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Решением этого уравнения являются две серии корней: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, то есть $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию ОДЗ. Для $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ имеем $\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$, что не равно нулю. Значит, эти корни входят в ОДЗ и являются решениями.

2. $3\operatorname{ctg}x + \sqrt{3} = 0$

$3\operatorname{ctg}x = -\sqrt{3}$

$\operatorname{ctg}x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \operatorname{arccot}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi m$, то есть $x = \frac{2\pi}{3} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. Для $x = \frac{2\pi}{3} + \pi m$ имеем $\sin x \neq 0$ (при четных $m$, $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$; при нечетных $m$, $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$). Следовательно, эти корни также являются решениями.

Объединим все найденные решения. Мы получили три серии корней:

• $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

• $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

• $x = \frac{2\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Заметим, что первая серия корней ($x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$) является подмножеством третьей серии ($x = \frac{2\pi}{3} + \pi m$) при четных значениях $m$ ($m=2n$).

Следовательно, общее решение можно записать как объединение второй и третьей серий.

Ответ: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{2\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.