Номер 10, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. Решите уравнение:

a) $ctg\frac{\pi x}{3}=0$;

б) $ctg\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)-1=0$;

в) $ctg\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)=\sqrt{3}$;

г) $ctg\frac{x}{3}=\pi$;

д) $ctg4x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) $ctg \frac{\pi x}{3} = 0$
Это частный случай тригонометрического уравнения.
Аргумент котангенса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
$\frac{\pi x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$\frac{x}{3} = \frac{1}{2} + n$
Умножим обе части на 3:
$x = \frac{3}{2} + 3n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = 1.5 + 3n, n \in Z$.

б) $ctg(4x + \frac{\pi}{3}) - 1 = 0$
Перенесем 1 в правую часть:
$ctg(4x + \frac{\pi}{3}) = 1$
По общей формуле решения уравнений с котангенсом $ctg(t)=a \implies t = arcctg(a) + \pi n$.
$4x + \frac{\pi}{3} = arcctg(1) + \pi n$, где $n \in Z$.
Так как $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$4x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi n$
Выразим $4x$:
$4x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi n$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$4x = \frac{3\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} + \pi n$
$4x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$
Разделим обе части на 4:
$x = -\frac{\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}, n \in Z$.

в) $ctg(\frac{\pi}{3} - 2x) = \sqrt{3}$
Применяем общую формулу решения:
$\frac{\pi}{3} - 2x = arcctg(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in Z$.
Значение $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{\pi}{3} - 2x = \frac{\pi}{6} + \pi n$
Выразим $-2x$:
$-2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$-2x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi n$
$-2x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$
Разделим обе части на -2:
$x = \frac{\pi}{12} - \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} - \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

г) $ctg \frac{x}{3} = \pi$
Применяем общую формулу решения:
$\frac{x}{3} = arcctg(\pi) + \pi n$, где $n \in Z$.
Число $\pi$ не является табличным значением для арккотангенса, поэтому выражение $arcctg(\pi)$ оставляем в таком виде.
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы выразить $x$:
$x = 3 \cdot arcctg(\pi) + 3\pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = 3 \cdot arcctg(\pi) + 3\pi n, n \in Z$.

д) $ctg(4x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Применяем общую формулу решения:
$4x = arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$, где $n \in Z$.
Используем свойство арккотангенса: $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$.
$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставим значение в уравнение:
$4x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$
Разделим обе части на 4:
$x = \frac{2\pi}{3 \cdot 4} + \frac{\pi n}{4}$
$x = \frac{2\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{4}, n \in Z$.