Номер 12, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. Решите уравнение:

а) $(ctg x+\sqrt{3})(sin x-1)=0;$

б) $(2 cos x-\sqrt{2})(tg x-\sqrt{3})=0.$

а) $(\text{ctg } x + \sqrt{3})(\sin x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом определены (имеют смысл).
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Уравнение содержит $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$, следовательно, должно выполняться условие $\sin x \neq 0$. Это значит, что $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) $\text{ctg } x + \sqrt{3} = 0$

$\text{ctg } x = -\sqrt{3}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \text{arcctg}(-\sqrt{3}) + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. Для этих значений $x$, $\sin x = \sin(\frac{5\pi}{6} + \pi n) = \pm\sin(\frac{5\pi}{6}) = \pm\frac{1}{2}$. Так как $\sin x \neq 0$, эти корни являются решениями исходного уравнения.

2) $\sin x - 1 = 0$

$\sin x = 1$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. Для этих значений $x$, $\sin x = 1 \neq 0$. Значит, условие ОДЗ выполняется. Также при этих значениях $x$ множитель $(\text{ctg } x + \sqrt{3})$ определен, так как $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 0$. Следовательно, эти корни также являются решениями исходного уравнения.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

б) $(2\cos x - \sqrt{2})(\text{tg } x - \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом определены.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Уравнение содержит $\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$, следовательно, должно выполняться условие $\cos x \neq 0$. Это значит, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) $2\cos x - \sqrt{2} = 0$

$2\cos x = \sqrt{2}$

$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. Для этих значений $x$, $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$. Условие ОДЗ выполняется. При этих значениях $x$ множитель $(\text{tg } x - \sqrt{3})$ определен, так как $\text{tg}(\pm\frac{\pi}{4}) = \pm1$. Следовательно, эти корни являются решениями исходного уравнения.

2) $\text{tg } x - \sqrt{3} = 0$

$\text{tg } x = \sqrt{3}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. Для этих значений $x$, $\cos x = \cos(\frac{\pi}{3} + \pi m) = \pm\cos(\frac{\pi}{3}) = \pm\frac{1}{2}$. Так как $\cos x \neq 0$, эти корни являются решениями исходного уравнения.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.