Номер 15, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

15. (3) Определите количество корней уравнения $2\sin\left(\frac{2\pi x}{7}+\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2},$ принадлежащих промежутку $[1;4]$.

Для решения задачи сначала упростим данное уравнение:

$2\sin(\frac{2\pi x}{7} + \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin(\frac{2\pi x}{7} + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения для аргумента $(\frac{2\pi x}{7} + \frac{\pi}{4})$ можно представить в виде двух серий, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$):

1) $\frac{2\pi x}{7} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$

2) $\frac{2\pi x}{7} + \frac{\pi}{4} = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$

Теперь выразим $x$ для каждой серии решений.

Для первой серии:

$\frac{2\pi x}{7} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{2\pi x}{7} = -\frac{2\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{2\pi x}{7} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Разделим обе части на $2\pi$:

$\frac{x}{7} = -\frac{1}{4} + k$

$x = 7(-\frac{1}{4} + k) = -\frac{7}{4} + 7k$

Для второй серии:

$\frac{2\pi x}{7} = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{2\pi x}{7} = \frac{4\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{2\pi x}{7} = \pi + 2\pi k$

Разделим обе части на $2\pi$:

$\frac{x}{7} = \frac{1}{2} + k$

$x = 7(\frac{1}{2} + k) = \frac{7}{2} + 7k$

Теперь необходимо найти количество корней, принадлежащих промежутку $[1; 4]$. Для этого решим двойные неравенства для каждой серии корней, находя целые значения $k$.

Анализ первой серии: $x = -\frac{7}{4} + 7k$

$1 \le -\frac{7}{4} + 7k \le 4$

$1 \le -1.75 + 7k \le 4$

$1 + 1.75 \le 7k \le 4 + 1.75$

$2.75 \le 7k \le 5.75$

$\frac{2.75}{7} \le k \le \frac{5.75}{7}$

Приблизительно $0.39 \le k \le 0.82$. В этом диапазоне нет целых значений $k$. Следовательно, из этой серии нет корней на заданном промежутке.

Анализ второй серии: $x = \frac{7}{2} + 7k$

$1 \le \frac{7}{2} + 7k \le 4$

$1 \le 3.5 + 7k \le 4$

$1 - 3.5 \le 7k \le 4 - 3.5$

$-2.5 \le 7k \le 0.5$

$\frac{-2.5}{7} \le k \le \frac{0.5}{7}$

Приблизительно $-0.35 \le k \le 0.07$. Единственное целое значение $k$ в этом диапазоне — это $k=0$.

Найдем корень, соответствующий $k=0$:

$x = \frac{7}{2} + 7 \cdot 0 = \frac{7}{2} = 3.5$

Проверим, принадлежит ли этот корень промежутку $[1; 4]$: $1 \le 3.5 \le 4$. Неравенство верное.

Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет только один корень.

Ответ: 1