Номер 16, страница 143, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. (3) Определите сумму корней уравнения $2 \cos \left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{3} = 0$, принадлежащих интервалу $(-\pi; 2\pi)$.

Сначала решим данное тригонометрическое уравнение. Преобразуем его, выразив косинус:
$2 \cos\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{3} = 0$
$2 \cos\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}$
$\cos\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для него находится по формуле:
$\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем совокупность уравнений:
$\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad$ или $\quad \frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Теперь решим каждое уравнение из совокупности относительно $x$.
Для первого уравнения:
$\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{3x}{2} = \frac{2\pi + 3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$
$x = \frac{2}{3} \left( \frac{5\pi}{12} + 2\pi n \right) = \frac{10\pi}{36} + \frac{4\pi n}{3} = \frac{5\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3}$.
Для второго уравнения:
$\frac{3x}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{3x}{2} = \frac{-2\pi + 3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n$
$x = \frac{2}{3} \left( \frac{\pi}{12} + 2\pi n \right) = \frac{2\pi}{36} + \frac{4\pi n}{3} = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3}$.

Теперь необходимо найти все корни, принадлежащие заданному интервалу $(-\pi; 2\pi)$. Будем подставлять различные целые значения $n$ в полученные серии решений.
Для первой серии корней $x = \frac{5\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3}$:
При $n=0$, $x = \frac{5\pi}{18}$. Этот корень принадлежит интервалу, так как $-\pi < \frac{5\pi}{18} < 2\pi$.
При $n=1$, $x = \frac{5\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi + 24\pi}{18} = \frac{29\pi}{18}$. Этот корень принадлежит интервалу, так как $\frac{29\pi}{18} < 2\pi$.
При $n=-1$, $x = \frac{5\pi}{18} - \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi - 24\pi}{18} = -\frac{19\pi}{18}$. Этот корень не принадлежит интервалу, так как $-\frac{19\pi}{18} < -\pi$.

Для второй серии корней $x = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3}$:
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{18}$. Этот корень принадлежит интервалу.
При $n=1$, $x = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi + 24\pi}{18} = \frac{25\pi}{18}$. Этот корень также принадлежит интервалу.
При $n=-1$, $x = \frac{\pi}{18} - \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi - 24\pi}{18} = -\frac{23\pi}{18}$. Этот корень не принадлежит интервалу.

Таким образом, мы нашли четыре корня, принадлежащие интервалу $(-\pi; 2\pi)$: $\frac{5\pi}{18}$, $\frac{29\pi}{18}$, $\frac{\pi}{18}$ и $\frac{25\pi}{18}$.

Осталось найти их сумму:
Сумма = $\frac{5\pi}{18} + \frac{29\pi}{18} + \frac{\pi}{18} + \frac{25\pi}{18} = \frac{(5+29+1+25)\pi}{18} = \frac{60\pi}{18}$
Сокращаем полученную дробь:
$\frac{60\pi}{18} = \frac{10 \cdot 6 \pi}{3 \cdot 6} = \frac{10\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{10\pi}{3}$.