Номер 1, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Часть 1

Решите уравнение (1–10):

1. $6 \cos^2 x - 5 \sin x + 5 = 0$.

1. Исходное уравнение: $6 \cos^2 x - 5 \sin x + 5 = 0$.

Это тригонометрическое уравнение, содержащее две разные функции: $\sin x$ и $\cos^2 x$. Чтобы решить его, необходимо привести уравнение к одной функции. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Из этого тождества выразим $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$6(1 - \sin^2 x) - 5 \sin x + 5 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$6 - 6 \sin^2 x - 5 \sin x + 5 = 0$

$-6 \sin^2 x - 5 \sin x + 11 = 0$

Для удобства умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при $\sin^2 x$ стал положительным:

$6 \sin^2 x + 5 \sin x - 11 = 0$

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид:

$6t^2 + 5t - 11 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-11) = 25 + 264 = 289$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-22}{12} = -\frac{11}{6}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$

Теперь вернемся к замене $t = \sin x$ и рассмотрим каждый корень.

1. $t_1 = -\frac{11}{6}$. Получаем уравнение $\sin x = -\frac{11}{6}$. Так как $-\frac{11}{6} \approx -1.83$, что меньше -1, этот корень не удовлетворяет условию $-1 \le \sin x \le 1$. Следовательно, это уравнение не имеет решений.

2. $t_2 = 1$. Получаем уравнение $\sin x = 1$. Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение этого уравнения имеет вид:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k - любое целое число).

Таким образом, единственной серией решений исходного уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.