gdz.top
Номер 5, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы
Авторы: Пак О. В., Ардакулы Д., Ескендирова Е. В.
Тип: Учебник
Издательство: Алматыкітап баспасы
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-01-3958-9
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 1. Глава 3. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 2. Методы решения тригонометрических уравнений. 2.2. Уравнения, приводимые к квадратным. Задачи - номер 5, страница 147.
№4
№5 (с. 147)
Условие. №5 (с. 147)
5. $\cos^2 x + 5\cos x = 2\sin^2 x$.
Решение 2 (rus). №5 (с. 147)
Данное уравнение является тригонометрическим. Для его решения приведем все функции к одной, в данном случае к косинусу. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$.
Исходное уравнение:
$cos^2(x) + 5cos(x) = 2sin^2(x)$
Из основного тригонометрического тождества выразим $sin^2(x) = 1 - cos^2(x)$ и подставим его в уравнение:
$cos^2(x) + 5cos(x) = 2(1 - cos^2(x))$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$cos^2(x) + 5cos(x) = 2 - 2cos^2(x)$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$cos^2(x) + 2cos^2(x) + 5cos(x) - 2 = 0$
$3cos^2(x) + 5cos(x) - 2 = 0$
Получили квадратное уравнение относительно $cos(x)$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = cos(x)$. Учитывая, что область значений функции косинус находится в промежутке $[-1, 1]$, должно выполняться условие $|t| \le 1$.
Запишем уравнение с новой переменной:
$3t^2 + 5t - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$
Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $|t| \le 1$.
Для $t_1 = 1/3$: $-1 \le 1/3 \le 1$. Корень подходит.
Для $t_2 = -2$: условие $|-2| \le 1$ не выполняется. Этот корень является посторонним и не подходит для решения исходного тригонометрического уравнения.
Выполним обратную замену для подходящего корня $t_1$:
$cos(x) = \frac{1}{3}$
Общее решение для этого уравнения имеет вид:
$x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).
Ответ: $x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 5 расположенного на странице 147 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5 (с. 147), авторов: Пак (Олег Владимирович), Ардакулы (Дархан ), Ескендирова (Елена Викторовна), 1-й части учебного пособия издательства Алматыкітап баспасы.