Номер 9, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. $\sqrt{2}(1+\cos^2 x)=3\cos x.$

Исходное уравнение: $\sqrt{2}(1 + \cos^2 x) = 3 \cos x$.

Заметим, что левая часть уравнения $\sqrt{2}(1 + \cos^2 x)$ всегда положительна, поскольку $1 + \cos^2 x \ge 1$. Следовательно, правая часть также должна быть положительной: $3 \cos x > 0$, что означает $\cos x > 0$. Это является областью допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения.

Для решения уравнения введем замену. Пусть $t = \cos x$. С учетом ОДЗ, для новой переменной $t$ должно выполняться условие $0 < t \le 1$.

После подстановки замены в исходное уравнение, мы получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$\sqrt{2}(1 + t^2) = 3t$
Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:
$\sqrt{2}t^2 - 3t + \sqrt{2} = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a = \sqrt{2}$, $b = -3$, $c = \sqrt{2}$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 9 - 4 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2\sqrt{2}} = \frac{3 + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
$t_2 = \frac{3 - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь проверим, соответствуют ли найденные корни условию $0 < t \le 1$.
Корень $t_1 = \sqrt{2} \approx 1.414$. Этот корень не удовлетворяет условию, так как $\sqrt{2} > 1$, и является посторонним.
Корень $t_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$. Этот корень удовлетворяет условию $0 < \frac{\sqrt{2}}{2} \le 1$.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t_2$:
$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решениями данного простейшего тригонометрического уравнения являются:
$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
Данные решения удовлетворяют ОДЗ ($\cos x > 0$).

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.