gdz.top
Номер 16, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы
Авторы: Пак О. В., Ардакулы Д., Ескендирова Е. В.
Тип: Учебник
Издательство: Алматыкітап баспасы
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-01-3958-9
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 1. Глава 3. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 2. Методы решения тригонометрических уравнений. 2.2. Уравнения, приводимые к квадратным. Задачи - номер 16, страница 147.
№15
№16 (с. 147)
Условие. №16 (с. 147)
16. $\cos^4 \frac{x}{5} + \sin^2 \frac{x}{5} = 1.$
Решение 2 (rus). №16 (с. 147)
Дано тригонометрическое уравнение:
$$cos^4 \frac{x}{5} + sin^2 \frac{x}{5} = 1$$
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha$. Подставим это выражение в исходное уравнение, приняв $\alpha = \frac{x}{5}$:
$$cos^4 \frac{x}{5} + \left(1 - cos^2 \frac{x}{5}\right) = 1$$
Перенесем все члены в левую часть и упростим:
$$cos^4 \frac{x}{5} - cos^2 \frac{x}{5} + 1 - 1 = 0$$
$$cos^4 \frac{x}{5} - cos^2 \frac{x}{5} = 0$$
Вынесем общий множитель $cos^2 \frac{x}{5}$ за скобки:
$$cos^2 \frac{x}{5} \left(cos^2 \frac{x}{5} - 1\right) = 0$$
Из основного тригонометрического тождества мы знаем, что $cos^2 \alpha - 1 = -sin^2 \alpha$. Применим это к выражению в скобках:
$$cos^2 \frac{x}{5} \left(-sin^2 \frac{x}{5}\right) = 0$$
Умножим обе части уравнения на -1:
$$cos^2 \frac{x}{5} \cdot sin^2 \frac{x}{5} = 0$$
Это уравнение можно переписать в виде:
$$\left(cos \frac{x}{5} \cdot sin \frac{x}{5}\right)^2 = 0$$
Используем формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$, из которой следует, что $sin\alpha cos\alpha = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$.
Подставим это в наше уравнение:
$$\left(\frac{1}{2} sin\left(2 \cdot \frac{x}{5}\right)\right)^2 = 0$$
$$\frac{1}{4} sin^2\left(\frac{2x}{5}\right) = 0$$
$$sin^2\left(\frac{2x}{5}\right) = 0$$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем простейшее тригонометрическое уравнение:
$$sin\left(\frac{2x}{5}\right) = 0$$
Решение этого уравнения имеет вид:
$$\frac{2x}{5} = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$$
Теперь выразим $x$. Умножим обе части на 5:
$$2x = 5\pi n$$
И разделим на 2:
$$x = \frac{5\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$$
Ответ: $x = \frac{5\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 16 расположенного на странице 147 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №16 (с. 147), авторов: Пак (Олег Владимирович), Ардакулы (Дархан ), Ескендирова (Елена Викторовна), 1-й части учебного пособия издательства Алматыкітап баспасы.