Номер 10, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. $\text{tg} x \left(\text{tg} x - \frac{1}{\cos x}\right) = \frac{1}{2}$

Исходное уравнение: $ \tg x \left( \tg x - \frac{1}{\cos x} \right) = \frac{1}{2} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция $ \tg x $ определена при $ \cos x \neq 0 $. Также в уравнении присутствует дробь $ \frac{1}{\cos x} $, что также требует выполнения условия $ \cos x \neq 0 $. Таким образом, ОДЗ определяется условием $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Преобразуем уравнение. Сначала раскроем скобки:

$ \tg^2 x - \frac{\tg x}{\cos x} = \frac{1}{2} $

Выразим тангенс через синус и косинус, используя тождество $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $:

$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\cos x} = \frac{1}{2} $

Упростим второй член в левой части:

$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{2} $

Объединим дроби в левой части:

$ \frac{\sin^2 x - \sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{2} $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $, чтобы выразить знаменатель через синус:

$ \frac{\sin^2 x - \sin x}{1 - \sin^2 x} = \frac{1}{2} $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sin x $. Из ОДЗ ($ \cos x \neq 0 $) следует, что $ \sin x \neq \pm 1 $, поэтому для новой переменной $ t $ должно выполняться условие $ t \in (-1, 1) $. Уравнение примет вид:

$ \frac{t^2 - t}{1 - t^2} = \frac{1}{2} $

Решим полученное рациональное уравнение. Используя основное свойство пропорции, получим:

$ 2(t^2 - t) = 1(1 - t^2) $

$ 2t^2 - 2t = 1 - t^2 $

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$ 3t^2 - 2t - 1 = 0 $

Найдем корни этого квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 $

Корни уравнения:

$ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 $

$ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $ t \in (-1, 1) $.

Корень $ t_1 = 1 $ не входит в интервал $ (-1, 1) $. Он соответствует случаю $ \sin x = 1 $, при котором $ \cos x = 0 $, что противоречит ОДЗ. Следовательно, этот корень является посторонним.

Корень $ t_2 = -\frac{1}{3} $ удовлетворяет условию $ -1 < -\frac{1}{3} < 1 $.

Выполним обратную замену:

$ \sin x = -\frac{1}{3} $

Общее решение этого простейшего тригонометрического уравнения имеет вид:

$ x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Используя свойство нечетности арксинуса $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $, можно записать ответ в виде:

$ x = (-1)^n \left(-\arcsin\frac{1}{3}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{1}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.