Номер 12, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. $2\sin^2 3x + \cos^2 3x + \sin 3x = 1$

1. Преобразование уравнения

• Представим $2\sin^2 3x$ как $\sin^2 3x + \sin^2 3x$:
  $(\sin^2 3x + \cos^2 3x) + \sin^2 3x + \sin 3x = 1$.
• Так как $\sin^2 3x + \cos^2 3x = 1$, уравнение принимает вид:
  $1 + \sin^2 3x + \sin 3x = 1$.
• Вычтем 1 из обеих частей:
  $\sin^2 3x + \sin 3x = 0$.

Ответ: Уравнение сведено к виду $\sin^2 3x + \sin 3x = 0$.

2. Разложение на множители

• Вынесем общий множитель за скобки:
  $\sin 3x (\sin 3x + 1) = 0$.
• Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
  1) $\sin 3x = 0$
  2) $\sin 3x + 1 = 0 \implies \sin 3x = -1$

Ответ: Получены два простейших уравнения: $\sin 3x = 0$ и $\sin 3x = -1$.

3. Нахождение корней

• Для $\sin 3x = 0$:
  $3x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$
  $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
• Для $\sin 3x = -1$:
  $3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
  $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
• Примечание: Заметим, что точки $-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$ при некоторых $n$ совпадают с точками из первой серии или дополняют общую картину на круге. Однако стандартно записывают обе серии.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}; x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, k, n \in \mathbb{Z}$.