Номер 18, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. $3\sin x - \cos 2x - \sin^2 100x = \cos^2 100x.$

Исходное уравнение:

$$3\sin x - \cos 2x - \sin^2 100x = \cos^2 100x$$

Перенесем член $-\sin^2 100x$ из левой части в правую, изменив его знак:

$$3\sin x - \cos 2x = \cos^2 100x + \sin^2 100x$$

Правая часть уравнения представляет собой основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. В данном случае $\alpha = 100x$, следовательно, правая часть равна 1.

$$\cos^2 100x + \sin^2 100x = 1$$

После упрощения уравнение принимает вид:

$$3\sin x - \cos 2x = 1$$

Чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции, воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.

Подставим это выражение в уравнение:

$$3\sin x - (1 - 2\sin^2 x) = 1$$

Раскроем скобки:

$$3\sin x - 1 + 2\sin^2 x = 1$$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $\sin x$:

$$2\sin^2 x + 3\sin x - 1 - 1 = 0$$

$$2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$$

Для решения этого уравнения введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку значения синуса лежат в диапазоне от -1 до 1, на новую переменную накладывается ограничение: $-1 \le t \le 1$.

Уравнение в новых переменных:

$$2t^2 + 3t - 2 = 0$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

Найдем корни уравнения для $t$:

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $-1 \le t \le 1$.

Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию, так как $-1 \le \frac{1}{2} \le 1$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < -1$. Следовательно, этот корень является посторонним и не ведет к решениям исходного уравнения.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t_1$:

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

Общее решение этого простейшего тригонометрического уравнения находится по формуле $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = \frac{1}{2}$, и $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Таким образом, получаем общее решение:

$$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.