Номер 11, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Решите уравнение (11-20):

11. $\cos^2 x - 2\sin x = -\frac{1}{4}$.

11. Исходное уравнение: $cos^2 x - 2\sin x = -\frac{1}{4}$.

Для решения данного уравнения приведем его к уравнению относительно одной тригонометрической функции. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2 x + cos^2 x = 1$, из которого выразим $cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(1 - \sin^2 x) - 2\sin x = -\frac{1}{4}$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное уравнение:

$1 - \sin^2 x - 2\sin x + \frac{1}{4} = 0$

Приведем подобные члены:

$-\sin^2 x - 2\sin x + \frac{5}{4} = 0$

Чтобы избавиться от дробей и отрицательного коэффициента при старшем члене, умножим обе части уравнения на $-4$:

$4\sin^2 x + 8\sin x - 5 = 0$

Теперь введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$. Уравнение примет вид квадратного:

$4t^2 + 8t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 + 12}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 - 12}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Теперь вернемся к замене и проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $-1 \le t \le 1$.

Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет этому условию, так как $-1 \le \frac{1}{2} \le 1$.

Корень $t_2 = -2.5$ не удовлетворяет условию, так как $-2.5 < -1$. Следовательно, этот корень является посторонним.

Таким образом, мы должны решить только одно простейшее тригонометрическое уравнение:

$\sin x = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения записывается по формуле $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, получаем решение:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.