Номер 6, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. $4\sin^4 x + 12\cos^2 x = 7.$

Дано тригонометрическое уравнение: $4\sin^4 x + 12\cos^2 x = 7$.

Для решения приведем уравнение к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4\sin^4 x + 12(1 - \sin^2 x) = 7$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4\sin^4 x + 12 - 12\sin^2 x = 7$

$4\sin^4 x - 12\sin^2 x + 12 - 7 = 0$

$4\sin^4 x - 12\sin^2 x + 5 = 0$

Получили биквадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin^2 x$. Учитывая, что $-1 \le \sin x \le 1$, область допустимых значений для $t$ будет $0 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$4t^2 - 12t + 5 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 - 80 = 64$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{12 - 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{12 + 8}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$

Проверим найденные корни на соответствие условию $0 \le t \le 1$.

Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию, так как $0 \le \frac{1}{2} \le 1$.

Корень $t_2 = \frac{5}{2} = 2.5$ не удовлетворяет условию, так как $2.5 > 1$. Следовательно, этот корень является посторонним.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t_1 = \frac{1}{2}$:

$\sin^2 x = \frac{1}{2}$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$1 - \cos(2x) = 1$

Отсюда получаем:

$\cos(2x) = 0$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Его решение имеет вид:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.