gdz.top
Номер 4, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы
Авторы: Пак О. В., Ардакулы Д., Ескендирова Е. В.
Тип: Учебник
Издательство: Алматыкітап баспасы
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-01-3958-9
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 1. Глава 3. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 2. Методы решения тригонометрических уравнений. 2.2. Уравнения, приводимые к квадратным. Задачи - номер 4, страница 147.
№3
№4 (с. 147)
Условие. №4 (с. 147)
4. $\cos^2 3x + 4\cos 3x = 3\sin^2 3x$.
Решение 2 (rus). №4 (с. 147)
Данное уравнение является тригонометрическим. Чтобы его решить, приведем все члены к одной функции, в данном случае к $cos(3x)$.
Исходное уравнение:$cos^2(3x) + 4cos(3x) = 3sin^2(3x)$
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$, откуда выразим $sin^2(3x) = 1 - cos^2(3x)$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:$cos^2(3x) + 4cos(3x) = 3(1 - cos^2(3x))$
Раскроем скобки:$cos^2(3x) + 4cos(3x) = 3 - 3cos^2(3x)$
Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:$cos^2(3x) + 3cos^2(3x) + 4cos(3x) - 3 = 0$$4cos^2(3x) + 4cos(3x) - 3 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = cos(3x)$. Так как область значений функции косинус $[-1, 1]$, то и $-1 \le t \le 1$.
Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:$4t^2 + 4t - 3 = 0$
Решим его через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$
Найдем корни для $t$:$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$
Теперь вернемся к замене $cos(3x) = t$ и рассмотрим каждый корень.
1. $cos(3x) = t_1 = \frac{1}{2}$
Этот корень удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$.
Общее решение для этого уравнения:$3x = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in Z$$3x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
Разделив обе части на 3, получим $x$:$x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in Z$.
2. $cos(3x) = t_2 = -\frac{3}{2}$
Этот корень не удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$, так как $-\frac{3}{2} = -1.5 < -1$. Следовательно, это уравнение не имеет решений.
Таким образом, единственным решением исходного уравнения является найденная серия корней.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in Z$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 147 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 147), авторов: Пак (Олег Владимирович), Ардакулы (Дархан ), Ескендирова (Елена Викторовна), 1-й части учебного пособия издательства Алматыкітап баспасы.