Номер 13, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. (2) Среди решений уравнения $ctg^2 2x = 1$ укажите те, которые принадлежат промежутку $[-\pi;\pi]$.

Сначала найдем общее решение тригонометрического уравнения $ctg(2x) = 1$.
Аргумент котангенса равен:
$2x = arcctg(1) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \Z$).
Мы знаем, что значение $arcctg(1)$ равно $\frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в уравнение:
$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \Z$.
Теперь выразим $x$, разделив обе части уравнения на 2:
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \Z$.
Это общее решение данного уравнения.

Далее необходимо выбрать из этих решений те, которые принадлежат промежутку $[-\pi; \pi]$. Для этого решим двойное неравенство:
$-\pi \le \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \le \pi$
Чтобы упростить неравенство, разделим все его части на $\pi$ (так как $\pi > 0$, знаки неравенства не меняются):
$-1 \le \frac{1}{8} + \frac{n}{2} \le 1$
Теперь вычтем $\frac{1}{8}$ из всех частей неравенства:
$-1 - \frac{1}{8} \le \frac{n}{2} \le 1 - \frac{1}{8}$
$-\frac{9}{8} \le \frac{n}{2} \le \frac{7}{8}$
Умножим все части на 2, чтобы найти диапазон для $n$:
$-\frac{9}{4} \le n \le \frac{7}{4}$
Представим границы в виде десятичных дробей:
$-2.25 \le n \le 1.75$
Поскольку $n$ — целое число, то подходящие значения для $n$ это $-2, -1, 0, 1$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого из этих $n$:
1. При $n = -2$: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi(-2)}{2} = \frac{\pi}{8} - \pi = \frac{\pi - 8\pi}{8} = -\frac{7\pi}{8}$
2. При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi(-1)}{2} = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi - 4\pi}{8} = -\frac{3\pi}{8}$
3. При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi(0)}{2} = \frac{\pi}{8}$
4. При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi(1)}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 4\pi}{8} = \frac{5\pi}{8}$

Таким образом, решения уравнения, принадлежащие промежутку $[-\pi; \pi]$, это $-\frac{7\pi}{8}, -\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}$.

Ответ: $-\frac{7\pi}{8}, -\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}$.