Номер 9, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. Решите уравнение:

а) $ \text{tg} \pi x = 0 $;

б) $ \text{tg} x = -1 $;

в) $ \text{tg} x - \sqrt{3} = 0 $;

г) $ \text{tg} 3x = 9 $;

д) $ 3\text{tg}\frac{x}{3} + \sqrt{3} = 0 $.

а) Дано уравнение $tg(\pi x) = 0$. Это частный случай тригонометрического уравнения, решение которого соответствует точкам, где синус равен нулю, а косинус не равен нулю. Общее решение для уравнения $tg(u) = 0$ имеет вид $u = \pi n$, где $n \in Z$ (Z — множество целых чисел). В нашем случае $u = \pi x$.
Следовательно, $\pi x = \pi n$.
Разделив обе части уравнения на $\pi$, находим $x$.
$x = n$.
Ответ: $x = n, n \in Z$.

б) Дано уравнение $tg(x) = -1$. Общее решение для уравнения вида $tg(x) = a$ записывается как $x = arctg(a) + \pi n$, где $n \in Z$.
В данном случае $a = -1$. Арктангенс от -1 равен $-\frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общую формулу:
$x = arctg(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

в) Дано уравнение $tg(x) - \sqrt{3} = 0$. Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить $tg(x)$.
$tg(x) = \sqrt{3}$.
Используем общую формулу решения $x = arctg(a) + \pi n$, где $a = \sqrt{3}$.
Арктангенс от $\sqrt{3}$ равен $\frac{\pi}{3}$.
$x = arctg(\sqrt{3}) + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.

г) Дано уравнение $tg(3x) = 9$. Это уравнение вида $tg(u) = a$, где $u = 3x$ и $a=9$.
Общее решение: $u = arctg(a) + \pi n$.
Подставляем наши значения: $3x = arctg(9) + \pi n$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3.
$x = \frac{arctg(9)}{3} + \frac{\pi n}{3}$.
Ответ: $x = \frac{1}{3}arctg(9) + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.

д) Дано уравнение $3tg\frac{x}{3} + \sqrt{3} = 0$. Преобразуем его, чтобы выразить тангенс.
$3tg\frac{x}{3} = -\sqrt{3}$.
$tg\frac{x}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Это уравнение вида $tg(u) = a$, где $u = \frac{x}{3}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Применяем общую формулу решения: $u = arctg(a) + \pi n$.
Арктангенс от $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ равен $-\frac{\pi}{6}$.
$\frac{x}{3} = arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$.
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3.
$x = 3 \cdot (-\frac{\pi}{6} + \pi n) = -\frac{3\pi}{6} + 3\pi n = -\frac{\pi}{2} + 3\pi n$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 3\pi n, n \in Z$.