Номер 7, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. Определите количество корней уравнения $2\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)=1$, принадлежащих промежутку $[\pi;4\pi]$.

Для решения задачи сначала найдем общее решение уравнения, а затем отберем корни, принадлежащие заданному промежутку.

Исходное уравнение:

$2\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) = 1$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить косинус:

$\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$

Аргумент косинуса $3x-\frac{\pi}{6}$ должен быть равен углам, косинус которых равен $\frac{1}{2}$. Общее решение для такого типа уравнений записывается в виде:

$3x - \frac{\pi}{6} = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Так как $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$3x - \frac{\pi}{6} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Разобьем это уравнение на две серии решений.

Первая серия решений (со знаком "+"):

$3x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Перенесем $\frac{\pi}{6}$ в правую часть:

$3x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k$

$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Разделим на 3, чтобы найти $x$:

$x_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$

Вторая серия решений (со знаком "-"):

$3x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Перенесем $\frac{\pi}{6}$ в правую часть:

$3x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x = -\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим на 3, чтобы найти $x$:

$x_2 = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$

Теперь необходимо найти, сколько корней из каждой серии попадает в промежуток $[\pi; 4\pi]$.

Отбор корней для первой серии $x_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$:

Составим двойное неравенство:

$\pi \le \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \le 4\pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$1 \le \frac{1}{6} + \frac{2k}{3} \le 4$

Вычтем $\frac{1}{6}$ из всех частей:

$1 - \frac{1}{6} \le \frac{2k}{3} \le 4 - \frac{1}{6}$

$\frac{5}{6} \le \frac{2k}{3} \le \frac{23}{6}$

Умножим все части на $\frac{3}{2}$, чтобы найти $k$:

$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} \le k \le \frac{23}{6} \cdot \frac{3}{2}$

$\frac{5}{4} \le k \le \frac{23}{4}$

$1.25 \le k \le 5.75$

Так как $k$ - целое число, то подходящие значения $k$ это $2, 3, 4, 5$. Таким образом, из первой серии в данный промежуток попадают 4 корня.

Отбор корней для второй серии $x_2 = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$:

Составим двойное неравенство:

$\pi \le -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} \le 4\pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$1 \le -\frac{1}{18} + \frac{2k}{3} \le 4$

Прибавим $\frac{1}{18}$ ко всем частям:

$1 + \frac{1}{18} \le \frac{2k}{3} \le 4 + \frac{1}{18}$

$\frac{19}{18} \le \frac{2k}{3} \le \frac{73}{18}$

Умножим все части на $\frac{3}{2}$:

$\frac{19}{18} \cdot \frac{3}{2} \le k \le \frac{73}{18} \cdot \frac{3}{2}$

$\frac{19}{12} \le k \le \frac{73}{12}$

$1.583... \le k \le 6.083...$

Так как $k$ - целое число, то подходящие значения $k$ это $2, 3, 4, 5, 6$. Таким образом, из второй серии в данный промежуток попадают 5 корней.

Общее количество корней уравнения, принадлежащих промежутку $[\pi; 4\pi]$, равно сумме корней из обеих серий: $4 + 5 = 9$.

Ответ: 9.