Номер 8, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (3) Определите сумму корней уравнения $2\sin\left(2\pi x-\frac{\pi}{5}\right)+\sqrt{8}=0$, принадлежащих интервалу $(-1; 1)$.

8. (3)

Для решения задачи сначала преобразуем данное тригонометрическое уравнение:
$2\sin\left(2\pi x - \frac{\pi}{5}\right) + \sqrt{3} = 0$
Изолируем синус:
$2\sin\left(2\pi x - \frac{\pi}{5}\right) = -\sqrt{3}$
$\sin\left(2\pi x - \frac{\pi}{5}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение уравнения $\sin(y) = a$ записывается в виде $y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В нашем случае $y = 2\pi x - \frac{\pi}{5}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$, получаем:
$2\pi x - \frac{\pi}{5} = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Для удобства разделим решение на две серии, соответствующие четным и нечетным значениям $k$.

1. Первая серия решений (для четных $k$, т.е. $k=2n$, где $n \in \mathbb{Z}$):
$2\pi x - \frac{\pi}{5} = (-1)^{2n} \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n$
$2\pi x - \frac{\pi}{5} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$2\pi x = \frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi - 5\pi}{15} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{15} + 2\pi n$
Разделив на $2\pi$, получим $x$:
$x = -\frac{1}{15} + n$

2. Вторая серия решений (для нечетных $k$, т.е. $k=2n+1$, где $n \in \mathbb{Z}$):
$2\pi x - \frac{\pi}{5} = (-1)^{2n+1} \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi(2n+1)$
$2\pi x - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n + \pi = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$
$2\pi x = \frac{\pi}{5} + \frac{4\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi + 20\pi}{15} + 2\pi n = \frac{23\pi}{15} + 2\pi n$
Разделив на $2\pi$, получим $x$:
$x = \frac{23}{30} + n$

Теперь необходимо найти все корни, которые лежат в интервале $(-1; 1)$.
Для первой серии $x = -\frac{1}{15} + n$:
$-1 < -\frac{1}{15} + n < 1 \implies -1 + \frac{1}{15} < n < 1 + \frac{1}{15} \implies -\frac{14}{15} < n < \frac{16}{15}$
Этому неравенству удовлетворяют целые значения $n=0$ и $n=1$.
При $n=0 \implies x_1 = -\frac{1}{15}$.
При $n=1 \implies x_2 = -\frac{1}{15} + 1 = \frac{14}{15}$.

Для второй серии $x = \frac{23}{30} + n$:
$-1 < \frac{23}{30} + n < 1 \implies -1 - \frac{23}{30} < n < 1 - \frac{23}{30} \implies -\frac{53}{30} < n < \frac{7}{30}$
$-1.76... < n < 0.23...$
Этому неравенству удовлетворяют целые значения $n=-1$ и $n=0$.
При $n=-1 \implies x_3 = \frac{23}{30} - 1 = -\frac{7}{30}$.
При $n=0 \implies x_4 = \frac{23}{30}$.

Мы нашли четыре корня, принадлежащие заданному интервалу: $-\frac{1}{15}, \frac{14}{15}, -\frac{7}{30}, \frac{23}{30}$.
Определим их сумму:
Сумма $= x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = \left(-\frac{1}{15}\right) + \frac{14}{15} + \left(-\frac{7}{30}\right) + \frac{23}{30}$
Сумма $= \frac{13}{15} + \frac{16}{30}$
Приведем к общему знаменателю 30:
Сумма $= \frac{26}{30} + \frac{16}{30} = \frac{42}{30}$
Сократим полученную дробь:
Сумма $= \frac{7 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{7}{5}$

Ответ: $\frac{7}{5}$