Номер 14, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. (2) Решите уравнение $\text{tg}\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-1$ и найдите его корни, удовлетворяющие условию $-\frac{\pi}{2}

Решите уравнение tg(2x + π/4) = -1

Исходное уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением вида $tg(A) = b$.

$tg(2x + \frac{\pi}{4}) = -1$

Общее решение для такого уравнения имеет вид $A = \text{arctg}(b) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $A = 2x + \frac{\pi}{4}$ и $b = -1$.

$2x + \frac{\pi}{4} = \text{arctg}(-1) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Поскольку значение арктангенса от -1 равно $-\frac{\pi}{4}$, подставляем его в уравнение:

$2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi k$

Выразим переменную $x$. Для этого перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$2x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k$

$2x = -\frac{2\pi}{4} + \pi k$

$2x = -\frac{\pi}{2} + \pi k$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Найдите его корни, удовлетворяющие условию -π/2 < x < 3π/2

Для отбора корней, принадлежащих интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$, решим двойное неравенство, подставив в него найденное общее решение:

$-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} < \frac{3\pi}{2}$

Чтобы найти подходящие целые значения $k$, решим это неравенство. Разделим все его части на $\pi$:

$-\frac{1}{2} < -\frac{1}{4} + \frac{k}{2} < \frac{3}{2}$

Прибавим $\frac{1}{4}$ ко всем частям неравенства:

$-\frac{1}{2} + \frac{1}{4} < \frac{k}{2} < \frac{3}{2} + \frac{1}{4}$

$-\frac{1}{4} < \frac{k}{2} < \frac{7}{4}$

Умножим все части неравенства на 2:

$-\frac{1}{2} < k < \frac{7}{2}$

В десятичном виде: $-0.5 < k < 3.5$.

Так как $k$ – целое число, оно может принимать значения: 0, 1, 2, 3.

Теперь вычислим соответствующие значения $x$ для каждого целого $k$:

При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = -\frac{\pi}{4}$.

При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 1}{2} = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

При $k=2$: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 2}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$.

При $k=3$: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 3}{2} = -\frac{\pi}{4} + \frac{6\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.

Все найденные значения являются корнями уравнения и принадлежат заданному интервалу.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.