Номер 11, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. Решите уравнение:

а) $\text{ctg} \left(2\pi x - \frac{\pi}{4}\right) = 1;$

б) $\text{ctg} \left(2\pi x - \frac{\pi}{4}\right) = -1;$

в) $3\text{tg} \left(\frac{\pi}{3} - \pi x\right) - \sqrt{3} = 0;$

г) $\text{ctg} \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 50.$

а)Дано уравнение $ctg(2\pi x - \frac{\pi}{4}) = 1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ctg(y) = a$. Его общее решение записывается формулой $y = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).
В нашем случае аргумент котангенса $y = 2\pi x - \frac{\pi}{4}$, а значение $a=1$.
Известно, что $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Подставим эти значения в общую формулу решения:
$2\pi x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:
$2\pi x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi n$
$2\pi x = \frac{2\pi}{4} + \pi n$
$2\pi x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
Разделим обе части уравнения на $2\pi$, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi} + \frac{\pi n}{2\pi}$
$x = \frac{\pi}{2 \cdot 2\pi} + \frac{n}{2}$
$x = \frac{1}{4} + \frac{n}{2}$
Ответ: $x = \frac{1}{4} + \frac{n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б)Дано уравнение $ctg(2\pi x - \frac{\pi}{4}) = -1$.
Это уравнение также имеет вид $ctg(y) = a$, где $y = 2\pi x - \frac{\pi}{4}$ и $a = -1$.
Общее решение: $y = arcctg(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Значение арккотангенса от -1 равно $arcctg(-1) = \frac{3\pi}{4}$.
Подставляем в формулу:
$2\pi x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \pi n$
Решаем относительно $x$:
$2\pi x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi n$
$2\pi x = \frac{4\pi}{4} + \pi n$
$2\pi x = \pi + \pi n$
Разделим обе части на $2\pi$:
$x = \frac{\pi}{2\pi} + \frac{\pi n}{2\pi}$
$x = \frac{1}{2} + \frac{n}{2}$
Ответ: $x = \frac{1}{2} + \frac{n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

в)Дано уравнение $3tg(\frac{\pi}{3} - \pi x) - \sqrt{3} = 0$.
Сначала преобразуем уравнение к виду $tg(y)=a$. Для этого выразим тангенс:
$3tg(\frac{\pi}{3} - \pi x) = \sqrt{3}$
$tg(\frac{\pi}{3} - \pi x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Общее решение для уравнения $tg(y) = a$ имеет вид $y = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $y = \frac{\pi}{3} - \pi x$ и $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Значение арктангенса $arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем в общую формулу:
$\frac{\pi}{3} - \pi x = \frac{\pi}{6} + \pi n$
Теперь выразим $x$. Сначала найдем $-\pi x$:
$-\pi x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n$
$-\pi x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi n$
$-\pi x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$
Разделим обе части на $-\pi$:
$x = \frac{-\frac{\pi}{6}}{-\pi} + \frac{\pi n}{-\pi}$
$x = \frac{1}{6} - n$
Поскольку $n$ — любое целое число, то и $-n$ пробегает все целые числа. Поэтому ответ можно записать и как $x = \frac{1}{6} + k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{1}{6} - n, n \in \mathbb{Z}$.

г)Дано уравнение $ctg(\frac{\pi}{2} - x) = 50$.
Для решения этого уравнения применим формулу приведения: $ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = tg(\alpha)$.
Используя эту формулу, мы можем упростить левую часть уравнения:
$tg(x) = 50$
Получили простейшее тригонометрическое уравнение вида $tg(x) = a$, где $a=50$.
Его общее решение записывается как $x = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Подставляем наше значение $a=50$:
$x = arctg(50) + \pi n$
Так как 50 не является стандартным значением тангенса для известных углов, ответ остается в этой форме.
Ответ: $x = arctg(50) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.