Номер 2, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. $5 \sin x - 2 \cos^2 x - \sin \frac{\pi}{2} = 0.$

Данное тригонометрическое уравнение: $5 \sin x - 2 \cos^2 x - \sin \frac{\pi}{2} = 0$.

Первым шагом упростим уравнение, вычислив значение $\sin \frac{\pi}{2}$. Мы знаем, что $\sin \frac{\pi}{2} = 1$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$5 \sin x - 2 \cos^2 x - 1 = 0$.

Чтобы решить это уравнение, нужно привести его к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Из этого тождества можно выразить $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

$5 \sin x - 2(1 - \sin^2 x) - 1 = 0$.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$5 \sin x - 2 + 2 \sin^2 x - 1 = 0$

$2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0$.

Мы получили квадратное уравнение относительно $\sin x$. Для удобства решения сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Уравнение в новых переменных будет выглядеть так:

$2t^2 + 5t - 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Теперь найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.

Теперь выполним обратную замену $t = \sin x$.

1. Для корня $t_1 = \frac{1}{2}$ получаем уравнение:

$\sin x = \frac{1}{2}$.

Этот корень удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Решения этого уравнения записываются общей формулой:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in Z$.

Поскольку $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, то получаем серию решений:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in Z$.

2. Для корня $t_2 = -3$ получаем уравнение:

$\sin x = -3$.

Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть меньше $-1$. Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Таким образом, решением исходного уравнения является только одна серия корней.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in Z$.