gdz.top
Номер 8, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы
Авторы: Пак О. В., Ардакулы Д., Ескендирова Е. В.
Тип: Учебник
Издательство: Алматыкітап баспасы
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-01-3958-9
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 1. Глава 3. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 2. Методы решения тригонометрических уравнений. 2.2. Уравнения, приводимые к квадратным. Задачи - номер 8, страница 147.
№7
№8 (с. 147)
Условие. №8 (с. 147)
8. $2 - \cos 2x + 4 \sin^2 x = 5 \sin x$
Решение 2 (rus). №8 (с. 147)
Исходное уравнение:
$2 - \cos(2x) + 4\sin^2x = 5\sin x$
Для решения данного тригонометрического уравнения приведем все его члены к одной функции. В данном случае удобно выразить все через $\sin x$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$2 - (1 - 2\sin^2x) + 4\sin^2x = 5\sin x$
Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$2 - 1 + 2\sin^2x + 4\sin^2x = 5\sin x$
$1 + 6\sin^2x = 5\sin x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\sin x$:
$6\sin^2x - 5\sin x + 1 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса $[-1, 1]$, для переменной $t$ должно выполняться условие $|t| \le 1$.
Получаем следующее квадратное уравнение:
$6t^2 - 5t + 1 = 0$
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$, так как $|\frac{1}{2}| \le 1$ и $|\frac{1}{3}| \le 1$.
Теперь выполним обратную замену и решим два простейших тригонометрических уравнения:
1) $\sin x = \frac{1}{2}$
Решения этого уравнения имеют вид:
$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
2) $\sin x = \frac{1}{3}$
Решения этого уравнения имеют вид:
$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
Таким образом, мы получили две серии решений, которые и являются ответом к задаче.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 8 расположенного на странице 147 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8 (с. 147), авторов: Пак (Олег Владимирович), Ардакулы (Дархан ), Ескендирова (Елена Викторовна), 1-й части учебного пособия издательства Алматыкітап баспасы.