gdz.top
Номер 13, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы
Авторы: Пак О. В., Ардакулы Д., Ескендирова Е. В.
Тип: Учебник
Издательство: Алматыкітап баспасы
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-01-3958-9
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 1. Глава 3. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 2. Методы решения тригонометрических уравнений. 2.2. Уравнения, приводимые к квадратным. Задачи - номер 13, страница 147.
№12
№13 (с. 147)
Условие. №13 (с. 147)
13. $ \cos 2x + 3 \sin x = 2 \cos 0. $
Решение 2 (rus). №13 (с. 147)
Исходное уравнение:
$cos(2x) + 3sin(x) = 2cos(0)$
Сначала упростим правую часть уравнения. Мы знаем, что $cos(0) = 1$.
$2cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$cos(2x) + 3sin(x) = 2$
Для решения этого уравнения приведем все тригонометрические функции к одному аргументу и одной функции. Используем формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)$.
Подставим это выражение в уравнение:
$(1 - 2sin^2(x)) + 3sin(x) = 2$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:
$1 - 2sin^2(x) + 3sin(x) - 2 = 0$
$-2sin^2(x) + 3sin(x) - 1 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить положительный коэффициент при старшем члене:
$2sin^2(x) - 3sin(x) + 1 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $sin(x)$. Сделаем замену переменной: пусть $t = sin(x)$. При этом нужно учесть, что область значений синуса: $-1 \le t \le 1$.
Получаем квадратное уравнение:
$2t^2 - 3t + 1 = 0$
Решим это уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Оба корня, $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = 1$, принадлежат отрезку $[-1; 1]$, следовательно, оба являются возможными значениями для $sin(x)$.
Теперь выполним обратную замену и найдем $x$.
Рассмотрим два случая:
1. $sin(x) = \frac{1}{2}$
Общее решение для этого уравнения:
$x = (-1)^k \cdot arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k, \quad k \in Z$
$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in Z$
2. $sin(x) = 1$
Это частный случай, решение которого:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in Z$
Объединяя все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in Z$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in Z$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 13 расположенного на странице 147 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №13 (с. 147), авторов: Пак (Олег Владимирович), Ардакулы (Дархан ), Ескендирова (Елена Викторовна), 1-й части учебного пособия издательства Алматыкітап баспасы.