gdz.top
Номер 17, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы
Авторы: Пак О. В., Ардакулы Д., Ескендирова Е. В.
Тип: Учебник
Издательство: Алматыкітап баспасы
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-01-3958-9
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 1. Глава 3. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 2. Методы решения тригонометрических уравнений. 2.2. Уравнения, приводимые к квадратным. Задачи - номер 17, страница 147.
№16
№17 (с. 147)
Условие. №17 (с. 147)
17. $\sin x - 2 \cos 2x = 1.$
Решение 2 (rus). №17 (с. 147)
Для решения уравнения $ \sin x - 2 \cos 2x = 1 $ преобразуем его, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x $. Это позволит привести уравнение к уравнению, зависящему только от $ \sin x $.
Подставим формулу в исходное уравнение:
$ \sin x - 2(1 - 2 \sin^2 x) = 1 $
Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:
$ \sin x - 2 + 4 \sin^2 x - 1 = 0 $
$ 4 \sin^2 x + \sin x - 3 = 0 $
Получилось квадратное уравнение относительно $ \sin x $. Введем замену переменной: пусть $ t = \sin x $. Так как область значений функции синус $ [-1, 1] $, то для переменной $ t $ должно выполняться условие $ -1 \le t \le 1 $.
Уравнение в новых переменных:
$ 4t^2 + t - 3 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 $
Найдем корни для $ t $:
$ t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1 $
$ t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $
Оба корня, $ t_1 = -1 $ и $ t_2 = \frac{3}{4} $, удовлетворяют условию $ t \in [-1, 1] $. Выполним обратную замену для каждого корня.
1. При $ \sin x = -1 $.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решением которого является серия корней:
$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.
2. При $ \sin x = \frac{3}{4} $.
Решение этого уравнения находится по общей формуле для синуса:
$ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.
Объединив решения обоих случаев, получаем окончательный результат.
Ответ: $ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad (-1)^k \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 17 расположенного на странице 147 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17 (с. 147), авторов: Пак (Олег Владимирович), Ардакулы (Дархан ), Ескендирова (Елена Викторовна), 1-й части учебного пособия издательства Алматыкітап баспасы.