Номер 20, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

20. $\operatorname{ctg} x \left(4 \operatorname{ctg} x - \frac{4}{\sin x}\right) + \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x = 0.$

Исходное уравнение: $ctg x (4 ctg x - \frac{4}{\sin x}) + tg x \cdot ctg x = 0$.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

1. Функция котангенса $ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена, когда ее знаменатель не равен нулю, то есть $\sin x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

2. Функция тангенса $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена, когда ее знаменатель не равен нулю, то есть $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. В уравнении также присутствует дробь $\frac{4}{\sin x}$, что накладывает то же самое ограничение: $\sin x \neq 0$.

Объединяя все эти условия, получаем, что $x$ не может принимать значения, при которых $\sin x = 0$ или $\cos x = 0$. Это эквивалентно условию $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \neq 0$, откуда $2x \neq \pi n$, и, следовательно, $x \neq \frac{\pi n}{2}$ для любого целого $n$.

Теперь перейдем к упрощению уравнения. Для всех $x$ из ОДЗ произведение $tg x \cdot ctg x = 1$. Подставим это значение в уравнение:

$ctg x (4 ctg x - \frac{4}{\sin x}) + 1 = 0$

Раскроем скобки:

$4 ctg^2 x - \frac{4 ctg x}{\sin x} + 1 = 0$

Заменим $ctg x$ на отношение $\frac{\cos x}{\sin x}$:

$4 \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2 - \frac{4 \cdot \frac{\cos x}{\sin x}}{\sin x} + 1 = 0$

$4 \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \frac{4 \cos x}{\sin^2 x} + 1 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $\sin^2 x$. Так как по ОДЗ $\sin x \neq 0$, то и $\sin^2 x \neq 0$, и это преобразование является равносильным.

$4 \cos^2 x - 4 \cos x + 1 = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2 \cos x$ и $b = 1$.

$(2 \cos x - 1)^2 = 0$

Это уравнение выполняется только тогда, когда выражение в скобках равно нулю:

$2 \cos x - 1 = 0$

$2 \cos x = 1$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Находим общее решение для $x$:

$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Последний шаг — проверка, соответствуют ли найденные решения ОДЗ ($x \neq \frac{\pi k}{2}$).

Серии решений $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ не содержат значений, кратных $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.