gdz.top
Номер 4, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы
Авторы: Пак О. В., Ардакулы Д., Ескендирова Е. В.
Тип: Учебник
Издательство: Алматыкітап баспасы
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-01-3958-9
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 1. Глава 3. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 2. Методы решения тригонометрических уравнений. 2.3. Однородные тригонометрические уравнения. Задачи - номер 4, страница 151.
№3
№4 (с. 151)
Условие. №4 (с. 151)
4. (3)
$\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos^2 x=0$
Решение 2 (rus). №4 (с. 151)
Дано тригонометрическое уравнение:
$ \sqrt{3}\sin x\cos x+\cos^{2}x=0 $
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Для его решения вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:
$ \cos x(\sqrt{3}\sin x+\cos x)=0 $
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1. $ \cos x = 0 $
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решением является серия корней:
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $
2. $ \sqrt{3}\sin x + \cos x = 0 $
Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части уравнения на $ \cos x $. Мы можем это сделать, так как если предположить, что $ \cos x = 0 $, то из уравнения $ \sqrt{3}\sin x + 0 = 0 $ следовало бы, что и $ \sin x = 0 $. Однако, $ \sin x $ и $ \cos x $ не могут быть равны нулю одновременно, поскольку это противоречит основному тригонометрическому тождеству $ \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1 $. Следовательно, в этом случае $ \cos x \neq 0 $.
Разделим уравнение на $ \cos x $:
$ \frac{\sqrt{3}\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $
Используя определение тангенса $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, получаем:
$ \sqrt{3}\tan x + 1 = 0 $
Выразим $ \tan x $:
$ \sqrt{3}\tan x = -1 $
$ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $
Решением этого уравнения является серия корней:
$ x = \arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $
$ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $
Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 151 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 151), авторов: Пак (Олег Владимирович), Ардакулы (Дархан ), Ескендирова (Елена Викторовна), 1-й части учебного пособия издательства Алматыкітап баспасы.