Номер 11, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (3)

$2\sin 4x - 3\sin^2 2x = 1$

11. (3)

Дано тригонометрическое уравнение:

$2\sin{4x} - 3\sin^2{2x} = 1$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$. В нашем случае аргумент двойного угла равен $4x$, поэтому $\alpha = 2x$. Следовательно, $\sin{4x} = 2\sin{2x}\cos{2x}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2(2\sin{2x}\cos{2x}) - 3\sin^2{2x} = 1$

$4\sin{2x}\cos{2x} - 3\sin^2{2x} = 1$

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$. Заменим $1$ в правой части уравнения на выражение $\sin^2{2x} + \cos^2{2x}$:

$4\sin{2x}\cos{2x} - 3\sin^2{2x} = \sin^2{2x} + \cos^2{2x}$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, например, вправо, чтобы получить однородное уравнение:

$0 = \cos^2{2x} + \sin^2{2x} + 3\sin^2{2x} - 4\sin{2x}\cos{2x}$

Приведем подобные слагаемые:

$\cos^2{2x} - 4\sin{2x}\cos{2x} + 4\sin^2{2x} = 0$

Полученное выражение является полным квадратом разности. Его можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \cos{2x}$ и $b = 2\sin{2x}$:

$(\cos{2x} - 2\sin{2x})^2 = 0$

Это уравнение равносильно тому, что выражение в скобках равно нулю:

$\cos{2x} - 2\sin{2x} = 0$

Перенесем $2\sin{2x}$ в правую часть:

$\cos{2x} = 2\sin{2x}$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения на $\cos{2x}$. Мы можем это сделать, так как если предположить, что $\cos{2x} = 0$, то из уравнения $\cos{2x} = 2\sin{2x}$ следовало бы, что $2\sin{2x} = 0$, то есть $\sin{2x}=0$. Однако $\sin{2x}$ и $\cos{2x}$ не могут быть равны нулю одновременно, поскольку $\sin^2{2x} + \cos^2{2x} = 1$. Следовательно, $\cos{2x} \ne 0$.

$\frac{\cos{2x}}{\cos{2x}} = \frac{2\sin{2x}}{\cos{2x}}$

$1 = 2\tan{2x}$

Отсюда находим $\tan{2x}$:

$\tan{2x} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем общее решение для $x$, используя определение арктангенса:

$2x = \arctan{\frac{1}{2}} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 2, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{1}{2}\arctan{\frac{1}{2}} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}\arctan{\frac{1}{2}} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.