gdz.top
Номер 8, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы
Авторы: Пак О. В., Ардакулы Д., Ескендирова Е. В.
Тип: Учебник
Издательство: Алматыкітап баспасы
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-01-3958-9
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 1. Глава 3. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 2. Методы решения тригонометрических уравнений. 2.3. Однородные тригонометрические уравнения. Задачи - номер 8, страница 151.
№7
№8 (с. 151)
Условие. №8 (с. 151)
8. (3)
$2\cos^2 x - 7\cos x = 2\sin^2 x$
Решение 2 (rus). №8 (с. 151)
Исходное уравнение: $2\cos^2 x - 7\cos x = 2\sin^2 x$.
Для решения приведем уравнение к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$2\cos^2 x - 7\cos x = 2(1 - \cos^2 x)$
Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть уравнения:
$2\cos^2 x - 7\cos x = 2 - 2\cos^2 x$
$2\cos^2 x + 2\cos^2 x - 7\cos x - 2 = 0$
$4\cos^2 x - 7\cos x - 2 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Так как область значений функции косинус от -1 до 1, то $-1 \le t \le 1$.
Получим квадратное уравнение относительно $t$:
$4t^2 - 7t - 2 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$
Найдем корни квадратного уравнения:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{7 + 9}{8} = \frac{16}{8} = 2$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{7 - 9}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$
Теперь вернемся к замене $t = \cos x$ и проанализируем полученные корни.
1. $t_1 = 2$. Уравнение $\cos x = 2$ не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$, а число 2 не входит в этот промежуток.
2. $t_2 = -1/4$. Уравнение $\cos x = -\frac{1}{4}$ имеет решения, так как $-1 \le -\frac{1}{4} \le 1$.
Общая формула для решения уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).
Применяя эту формулу, получаем решение нашего уравнения:
$x = \pm\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 8 расположенного на странице 151 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8 (с. 151), авторов: Пак (Олег Владимирович), Ардакулы (Дархан ), Ескендирова (Елена Викторовна), 1-й части учебного пособия издательства Алматыкітап баспасы.