Номер 12, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (3) $6 \sin^2 2x + 4 \cos^2 2x - 4 \sin 4x = 1$

Исходное уравнение:

$6 \sin^2 2x + 4 \cos^2 2x - 4 \sin 4x = 1$

Для решения преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества. Представим $6 \sin^2 2x$ как $2 \sin^2 2x + 4 \sin^2 2x$ и сгруппируем слагаемые:

$2 \sin^2 2x + (4 \sin^2 2x + 4 \cos^2 2x) - 4 \sin 4x = 1$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$2 \sin^2 2x + 4(\sin^2 2x + \cos^2 2x) - 4 \sin 4x = 1$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$2 \sin^2 2x + 4(1) - 4 \sin 4x = 1$

$2 \sin^2 2x + 4 - 4 \sin 4x = 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2 \sin^2 2x - 4 \sin 4x + 3 = 0$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$:

$2 \sin^2 2x - 4(2 \sin 2x \cos 2x) + 3 = 0$

$2 \sin^2 2x - 8 \sin 2x \cos 2x + 3 = 0$

Чтобы привести уравнение к однородному виду, заменим 3 на $3 \cdot 1 = 3(\sin^2 2x + \cos^2 2x)$:

$2 \sin^2 2x - 8 \sin 2x \cos 2x + 3(\sin^2 2x + \cos^2 2x) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2 \sin^2 2x - 8 \sin 2x \cos 2x + 3 \sin^2 2x + 3 \cos^2 2x = 0$

$5 \sin^2 2x - 8 \sin 2x \cos 2x + 3 \cos^2 2x = 0$

Проверим, является ли $\cos 2x = 0$ решением. Если $\cos 2x = 0$, то $\sin^2 2x = 1$. Подставляя в уравнение, получаем $5(1) - 0 + 0 = 0$, то есть $5=0$, что является неверным равенством. Значит, $\cos 2x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 2x$:

$\frac{5 \sin^2 2x}{\cos^2 2x} - \frac{8 \sin 2x \cos 2x}{\cos^2 2x} + \frac{3 \cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$

$5 \tan^2 2x - 8 \tan 2x + 3 = 0$

Сделаем замену переменной $t = \tan 2x$. Получаем квадратное уравнение:

$5t^2 - 8t + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$t_2 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Теперь выполним обратную замену для каждого корня.

1) $\tan 2x = 1$

$2x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan 2x = \frac{3}{5}$

$2x = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{3}{5}\right) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad x = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{3}{5}\right) + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.