Номер 18, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. (3) $5\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 8\cos^2 x = 4.$

Дано тригонометрическое уравнение:

$5\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 8\cos^2 x = 4$

Это уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени, но с ненулевой правой частью. Чтобы привести его к стандартному виду, используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ для преобразования числа 4 в правой части.

$4 = 4 \cdot 1 = 4(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$5\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 8\cos^2 x = 4\sin^2 x + 4\cos^2 x$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую и приведем подобные члены:

$(5\sin^2 x - 4\sin^2 x) - 5\sin x \cos x + (8\cos^2 x - 4\cos^2 x) = 0$

$\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 4\cos^2 x = 0$

Мы получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Для его решения необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $\cos x = 0$.

Если $\cos x = 0$, то при подстановке в уравнение $\sin^2 x - 5\sin x \cdot 0 + 4 \cdot 0^2 = 0$ получаем $\sin^2 x = 0$, что означает $\sin x = 0$. Однако, $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ($0^2 + 0^2 \neq 1$). Следовательно, решения в этом случае отсутствуют, и $\cos x \neq 0$.

Случай 2: $\cos x \neq 0$.

Поскольку $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{5\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{4\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

Используя определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:

$\tan^2 x - 5\tan x + 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\tan x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \tan x$.

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 4$

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней.

1) $\tan x = 1$

$x = \arctan(1) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\tan x = 4$

$x = \arctan(4) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Это решение нельзя упростить, так как 4 не является табличным значением тангенса.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, $x = \arctan(4) + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.