Номер 23, страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Найдите минимальный корень уравнения $2\operatorname{tg}x-1=\frac{1-\cos2x}{1+\cos2x}$ на отрезке $\left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Исходное уравнение: $2\tg x - 1 = \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция $ \tg x $ определена, если $ \cos x \ne 0 $, то есть $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Также знаменатель дроби в правой части уравнения не должен быть равен нулю: $ 1 + \cos 2x \ne 0 $, что равносильно $ \cos 2x \ne -1 $. Решением этого условия является $ 2x \ne \pi + 2\pi k $, или $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Таким образом, ОДЗ уравнения: $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Упростим правую часть уравнения, используя формулы понижения степени (или формулы двойного угла для косинуса):
$ 1 - \cos 2x = 2\sin^2 x $
$ 1 + \cos 2x = 2\cos^2 x $

Подставим эти выражения в правую часть исходного уравнения:
$ \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{2\sin^2 x}{2\cos^2 x} = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = \tg^2 x $.

Теперь уравнение принимает вид:
$ 2\tg x - 1 = \tg^2 x $.

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $ \tg x $:
$ \tg^2 x - 2\tg x + 1 = 0 $.

Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности:
$ (\tg x - 1)^2 = 0 $.

Отсюда следует, что $ \tg x - 1 = 0 $, то есть $ \tg x = 1 $.

Общее решение этого простейшего тригонометрического уравнения имеет вид:
$ x = \arctan(1) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Теперь необходимо найти корни, принадлежащие заданному отрезку $ [\pi; \frac{3\pi}{2}] $. Для этого решим двойное неравенство относительно $ n $:
$ \pi \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le \frac{3\pi}{2} $.

Разделим все части неравенства на $ \pi $:
$ 1 \le \frac{1}{4} + n \le \frac{3}{2} $.

Вычтем $ \frac{1}{4} $ из всех частей неравенства:
$ 1 - \frac{1}{4} \le n \le \frac{3}{2} - \frac{1}{4} $
$ \frac{3}{4} \le n \le \frac{6}{4} - \frac{1}{4} $
$ \frac{3}{4} \le n \le \frac{5}{4} $.

Поскольку $ n $ — целое число, единственное возможное значение $ n $ в этом интервале — это $ n = 1 $.

Подставим $ n=1 $ в формулу для корней:
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{5\pi}{4} $.

Проверим, что найденный корень $ x = \frac{5\pi}{4} $ принадлежит отрезку $ [\pi; \frac{3\pi}{2}] $.
$ \pi = \frac{4\pi}{4} $ и $ \frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4} $. Неравенство $ \frac{4\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4} \le \frac{6\pi}{4} $ является верным.
Найденный корень $ x = \frac{5\pi}{4} $ не совпадает с точками вида $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, поэтому он удовлетворяет ОДЗ.

Так как на заданном отрезке мы нашли только один корень, он и является минимальным (а также и единственным).

Ответ: $ \frac{5\pi}{4} $