Номер 20, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

20. (3) $4 \cos^2 x = \sin x - \sin^2 x$. Найдите наибольший корень, который меньше, чем $3\pi$.

Дано тригонометрическое уравнение $4\cos^2 x = \sin x - \sin^2 x$. Необходимо найти его наибольший корень, который меньше, чем $3\pi$.

Для решения уравнения приведем его к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:$4(1 - \sin^2 x) = \sin x - \sin^2 x$

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну часть уравнения:$4 - 4\sin^2 x = \sin x - \sin^2 x$$4 - 4\sin^2 x - \sin x + \sin^2 x = 0$$-3\sin^2 x - \sin x + 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным:$3\sin^2 x + \sin x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений функции синус от -1 до 1 включительно, имеем ограничение $-1 \le t \le 1$.

Получаем и решаем квадратное уравнение:$3t^2 + t - 4 = 0$Найдем дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения для $t$:$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Теперь вернемся к замене, учитывая ограничение $-1 \le t \le 1$:1. $t_1 = 1$. Этот корень удовлетворяет условию, так как $-1 \le 1 \le 1$.2. $t_2 = -\frac{4}{3}$. Этот корень не удовлетворяет условию, так как $-\frac{4}{3} < -1$. Следовательно, он является посторонним.

Остается решить простейшее тригонометрическое уравнение:$\sin x = 1$

Решения этого уравнения имеют вид:$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь нам нужно найти наибольший корень, который меньше $3\pi$. Будем перебирать целочисленные значения $k$:

• При $k = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$. Это значение меньше $3\pi$ ($\frac{1}{2}\pi < 3\pi$).
• При $k = 1$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$. Это значение меньше $3\pi$ ($\frac{5}{2}\pi < 3\pi$, так как $2.5 < 3$).
• При $k = 2$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 2 = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}$. Это значение больше $3\pi$ ($\frac{9}{2}\pi > 3\pi$, так как $4.5 > 3$).
• При отрицательных $k$ (например, $k=-1$) корни будут еще меньше: $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$.

Сравнивая полученные корни, удовлетворяющие условию ($...; -\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}$), видим, что наибольшим из них является $\frac{5\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{2}$