Номер 22, страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

22. (3) $0.5\sin 2\pi x = \cos\pi x - \sin^2 \pi x + 1.$

22. (3) Дано тригонометрическое уравнение: $0,5 \sin(2\pi x) = \cos(\pi x) - \sin^2(\pi x) + 1$.

Для решения этого уравнения преобразуем его, используя тригонометрические тождества. Во-первых, применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $ для левой части, где $ \alpha = \pi x $. Во-вторых, используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $, из которого следует, что $ 1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha) $.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$ 0,5 \cdot (2\sin(\pi x)\cos(\pi x)) = \cos(\pi x) + (1 - \sin^2(\pi x)) $

Упростив, получаем:

$ \sin(\pi x)\cos(\pi x) = \cos(\pi x) + \cos^2(\pi x) $

Теперь перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$ \cos^2(\pi x) + \cos(\pi x) - \sin(\pi x)\cos(\pi x) = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos(\pi x) $ за скобки:

$ \cos(\pi x) \cdot (\cos(\pi x) + 1 - \sin(\pi x)) = 0 $

Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая.

Случай 1: $ \cos(\pi x) = 0 $

Общее решение этого уравнения имеет вид $ \pi x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Разделив на $ \pi $, находим первую серию корней:

$ x = \frac{1}{2} + k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Случай 2: $ \cos(\pi x) + 1 - \sin(\pi x) = 0 $

Перепишем уравнение в виде $ \sin(\pi x) - \cos(\pi x) = 1 $. Это линейное тригонометрическое уравнение, которое удобно решать методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $.

$ \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\pi x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\pi x) \right) = 1 $

Поскольку $ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, и мы знаем, что $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, мы можем применить формулу синуса разности $ \sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b) $:

$ \sin(\pi x)\cos(\frac{\pi}{4}) - \cos(\pi x)\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $

$ \sin(\pi x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Это уравнение имеет два семейства решений:

а) $ \pi x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ \pi x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

$ x = \frac{1}{2} + 2n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Эта серия решений является подмножеством первой серии $ x = \frac{1}{2} + k $ (когда $k$ — четное число).

б) $ \pi x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ \pi x = \pi + 2\pi n $

$ x = 1 + 2n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Эта серия решений представляет собой все нечетные целые числа, которые можно также записать как $ x = 2n + 1 $.

Объединяя все найденные решения, получаем две независимые серии корней.

Ответ: $ x = \frac{1}{2} + k, \quad x = 2n + 1, \quad \text{где } k, n \in \mathbb{Z} $.