Номер 26, страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

26. (3) Вычислите:

a)

$\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{-3} \cdot (3,875)^{-1}}{(2,25)^{-2} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}}$

б)

$\frac{(0,4)^{-2} \cdot (2,5)^{-1}}{(0,16)^{-5} \cdot ((6,25)^{-2})^2}$

a)

Для решения данного примера преобразуем все десятичные дроби в обыкновенные и приведем все степени к одному основанию.
Сначала преобразуем десятичные дроби:
$3,375 = 3 \frac{375}{1000} = 3 \frac{3}{8} = \frac{27}{8}$
$2,25 = 2 \frac{25}{100} = 2 \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$
Теперь заметим, что все числа в выражении можно представить как степень дроби $\frac{3}{2}$:
$\frac{27}{8} = \frac{3^3}{2^3} = (\frac{3}{2})^3$
$\frac{9}{4} = \frac{3^2}{2^2} = (\frac{3}{2})^2$
$\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{(\frac{3}{2})^{-3} \cdot ((\frac{3}{2})^3)^{-1}}{((\frac{3}{2})^2)^{-2} \cdot ((\frac{3}{2})^{-1})^{-1}}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим выражение:
$\frac{(\frac{3}{2})^{-3} \cdot (\frac{3}{2})^{-3}}{(\frac{3}{2})^{-4} \cdot (\frac{3}{2})^{1}}$
Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели в числителе и знаменателе:
$\frac{(\frac{3}{2})^{-3-3}}{(\frac{3}{2})^{-4+1}} = \frac{(\frac{3}{2})^{-6}}{(\frac{3}{2})^{-3}}$
Используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, вычтем показатели:
$(\frac{3}{2})^{-6 - (-3)} = (\frac{3}{2})^{-6+3} = (\frac{3}{2})^{-3}$
Вычислим окончательное значение, используя свойство $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$:
$(\frac{3}{2})^{-3} = (\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$
Ответ: $\frac{8}{27}$

б)

Аналогично первому примеру, преобразуем все десятичные дроби в обыкновенные и найдем общее основание для степеней.
Преобразуем дроби:
$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$
$0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2$
$6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2$
Заметим, что $\frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1}$. Приведем все степени к основанию $\frac{2}{5}$.
Исходное выражение: $\frac{(0,4)^{-2} \cdot (2,5)^{-4}}{(0,16)^{-5} \cdot ((6,25)^{-2})^2}$
Подставим преобразованные дроби и приведем к общему основанию:
Числитель: $(0,4)^{-2} \cdot (2,5)^{-4} = (\frac{2}{5})^{-2} \cdot (\frac{5}{2})^{-4} = (\frac{2}{5})^{-2} \cdot ((\frac{2}{5})^{-1})^{-4} = (\frac{2}{5})^{-2} \cdot (\frac{2}{5})^4 = (\frac{2}{5})^{-2+4} = (\frac{2}{5})^2$.
Знаменатель: $(0,16)^{-5} \cdot ((6,25)^{-2})^2 = ((\frac{2}{5})^2)^{-5} \cdot (((\frac{5}{2})^2)^{-2})^2 = (\frac{2}{5})^{-10} \cdot ((\frac{5}{2})^{-4})^2 = (\frac{2}{5})^{-10} \cdot (\frac{5}{2})^{-8} = (\frac{2}{5})^{-10} \cdot ((\frac{2}{5})^{-1})^{-8} = (\frac{2}{5})^{-10} \cdot (\frac{2}{5})^8 = (\frac{2}{5})^{-10+8} = (\frac{2}{5})^{-2}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{(\frac{2}{5})^2}{(\frac{2}{5})^{-2}} = (\frac{2}{5})^{2 - (-2)} = (\frac{2}{5})^{2+2} = (\frac{2}{5})^4$
Вычислим результат:
$(\frac{2}{5})^4 = \frac{2^4}{5^4} = \frac{16}{625}$
Ответ: $\frac{16}{625}$