Номер 4, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. $1+\sin 2x=\cos x+\sin x$

Для решения данного тригонометрического уравнения $1+\sin 2x = \cos x + \sin x$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и формулой синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x \cos x = \cos x + \sin x$

Выражение в левой части является полным квадратом суммы, согласно формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Таким образом, левую часть можно свернуть:

$(\sin x + \cos x)^2 = \sin x + \cos x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы приравнять его к нулю:

$(\sin x + \cos x)^2 - (\sin x + \cos x) = 0$

Вынесем общий множитель $(\sin x + \cos x)$ за скобки:

$(\sin x + \cos x)((\sin x + \cos x) - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\sin x + \cos x = 0$

2) $\sin x + \cos x - 1 = 0 \quad \implies \quad \sin x + \cos x = 1$

Решим каждое уравнение по отдельности.

Решение уравнения 1: $\sin x + \cos x = 0$

Перенесем $\cos x$ в правую часть: $\sin x = -\cos x$.

Разделим обе части на $\cos x$. Это возможно, так как если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, и тогда $\sin x$ будет равен $\pm 1$. Уравнение $\pm 1 = 0$ не имеет решений, следовательно $\cos x \neq 0$.

$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$

$\tan x = -1$

Корни этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решение уравнения 2: $\sin x + \cos x = 1$

Это уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = 1$

Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, заменим дроби на тригонометрические функции:

$\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x) = 1$

Используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет две серии решений:

а) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}$; $x = 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z}$.