gdz.top
Номер 6, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы
Авторы: Пак О. В., Ардакулы Д., Ескендирова Е. В.
Тип: Учебник
Издательство: Алматыкітап баспасы
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-01-3958-9
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 1. Глава 3. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 2. Методы решения тригонометрических уравнений. 2.4. Метод разложения на множители. Задачи - номер 6, страница 155.
№5
№6 (с. 155)
Условие. №6 (с. 155)
6. $2 \cos x + \cot x = 0$
Решение 2 (rus). №6 (с. 155)
Исходное уравнение: $2\cos x + \operatorname{ctg} x = 0$.
Для решения этого уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция котангенса, $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$, не определена, когда ее знаменатель $\sin x$ равен нулю. Условие $\sin x \neq 0$ означает, что $x \neq \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Теперь преобразуем уравнение, заменив $\operatorname{ctg} x$ на отношение $\frac{\cos x}{\sin x}$:
$2\cos x + \frac{\cos x}{\sin x} = 0$
Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:
$\cos x \left(2 + \frac{1}{\sin x}\right) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Рассмотрим два возможных случая.
Случай 1: $\cos x = 0$.
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Проверим, удовлетворяют ли эти корни ОДЗ ($x \neq \pi k$). Для значений $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, синус принимает значения $1$ или $-1$, то есть $\sin x \neq 0$. Следовательно, все корни этой серии являются решениями исходного уравнения.
Случай 2: $2 + \frac{1}{\sin x} = 0$.
Решим это уравнение относительно $\sin x$:
$\frac{1}{\sin x} = -2$
$\sin x = -\frac{1}{2}$
Общее решение этого уравнения записывается как:
$x = (-1)^{m}\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:
$x = (-1)^{m}\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi m = (-1)^{m+1}\frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Эти корни также удовлетворяют ОДЗ, так как для них $\sin x = -\frac{1}{2} \neq 0$.
Объединяя решения, полученные в обоих случаях, мы находим все корни исходного уравнения.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{m+1}\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 155 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 155), авторов: Пак (Олег Владимирович), Ардакулы (Дархан ), Ескендирова (Елена Викторовна), 1-й части учебного пособия издательства Алматыкітап баспасы.