Номер 7, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. $ \sqrt{3} \text{tg} x - 4 \sin^2 x = 0. $

Исходное уравнение: $\sqrt{3}\operatorname{tg}x - 4\sin^2x = 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция тангенса $\operatorname{tg}x$ определена, когда $\cos x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\operatorname{tg}x$ на отношение $\frac{\sin x}{\cos x}$:$\sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x} - 4\sin^2x = 0$.

Теперь вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:$\sin x \left(\frac{\sqrt{3}}{\cos x} - 4\sin x\right) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два возможных случая.

1. $\sin x = 0$.Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Проверим, удовлетворяют ли эти корни ОДЗ. При $x = \pi k$, $\cos(\pi k) = (-1)^k$, что не равно нулю. Значит, эти решения подходят.

2. $\frac{\sqrt{3}}{\cos x} - 4\sin x = 0$.Перенесем второе слагаемое в правую часть:$\frac{\sqrt{3}}{\cos x} = 4\sin x$.Учитывая ОДЗ ($\cos x \neq 0$), умножим обе части уравнения на $\cos x$:$\sqrt{3} = 4\sin x \cos x$.Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Из нее следует, что $4\sin x \cos x = 2 \cdot (2\sin x \cos x) = 2\sin(2x)$.Тогда уравнение принимает вид:$2\sin(2x) = \sqrt{3}$.$\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решим полученное уравнение относительно $2x$:$2x = (-1)^m \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.$2x = (-1)^m \frac{\pi}{3} + \pi m$.Теперь найдем $x$, разделив обе части на 2:$x = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.Эти корни также входят в ОДЗ, так как если бы для них $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и равенство $\sqrt{3} = 4\sin x \cos x$ привело бы к неверному $\sqrt{3} = 0$.

Объединяем решения, полученные в обоих случаях.Ответ: $x = \pi k, \quad x = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{2}$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.