Номер 1, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Решите уравнение (1-13):

1. $ \sin^4 x - \sin^2 x = 0. $

1. Решим уравнение $sin^4 x - sin^2 x = 0$.

Для начала, вынесем общий множитель $sin^2 x$ за скобки:

$sin^2 x (sin^2 x - 1) = 0$.

Произведение равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений:

1) $sin^2 x = 0$

2) $sin^2 x - 1 = 0$

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Решение первого уравнения:

$sin^2 x = 0$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$sin x = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решениями являются значения x, при которых синус равен нулю.

Общая формула для этих корней:

$x = \pi n$, где $n \in Z$ (Z — множество целых чисел).

Решение второго уравнения:

$sin^2 x - 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$sin^2 x = 1$

Извлекая квадратный корень, получаем два случая:

$sin x = 1$ или $sin x = -1$.

Решением уравнения $sin x = 1$ является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Решением уравнения $sin x = -1$ является серия корней:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in Z$.

Две серии корней $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ и $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$ можно объединить в одну общую формулу, так как эти точки на единичной окружности (верхняя и нижняя) повторяются через пол-оборота (π радиан):

$x = \frac{\pi}{2} + \pi l$, где $l \in Z$.

Объединение всех решений:

Мы получили две группы решений для исходного уравнения:

1. $x = \pi n$, где $n \in Z$

2. $x = \frac{\pi}{2} + \pi l$, где $l \in Z$

Первая серия корней ($\pi n$) задает точки на оси Ox единичной окружности (0 и π). Вторая серия ($\frac{\pi}{2} + \pi l$) задает точки на оси Oy ($\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$). Вместе эти четыре точки являются вершинами квадрата, вписанного в окружность, и отстоят друг от друга на $\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, все решения можно записать одной более компактной формулой:

$x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.