Номер 27, страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

27. (2) Решите систему уравнений

$\begin{cases} (x+y)^2+(x-3y)^2=8, \\ x-3y+2=(x+y)^2. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x+y)^2 + (x-3y)^2 = 8 \\ x-3y + 2 = (x+y)^2 \end{cases} $

Для упрощения решения введем замену переменных. Пусть $a = x+y$ и $b = x-3y$.

Тогда система уравнений примет вид:

$ \begin{cases} a^2 + b^2 = 8 \\ b + 2 = a^2 \end{cases} $

Мы можем подставить выражение для $a^2$ из второго уравнения в первое.

Из второго уравнения: $a^2 = b + 2$.

Подставляем в первое уравнение:

$(b+2) + b^2 = 8$

$b^2 + b + 2 - 8 = 0$

$b^2 + b - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $b$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

$b_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$

$b_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$

Теперь для каждого найденного значения $b$ найдем соответствующее значение $a$ из уравнения $a^2 = b+2$.

1. Если $b = -3$:

$a^2 = -3 + 2 = -1$.

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

2. Если $b = 2$:

$a^2 = 2 + 2 = 4$.

Отсюда $a = \sqrt{4}$, что дает два значения: $a_1 = 2$ и $a_2 = -2$.

Таким образом, мы имеем две пары решений для $(a, b)$: $(2, 2)$ и $(-2, 2)$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$ для каждой пары.

Случай 1: $a = 2$ и $b = 2$.

Система для $x$ и $y$ выглядит так:

$ \begin{cases} x+y = 2 \\ x-3y = 2 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x+y) - (x-3y) = 2 - 2$

$4y = 0 \implies y = 0$.

Подставим $y=0$ в первое уравнение: $x + 0 = 2 \implies x = 2$.

Получаем первое решение: $(2, 0)$.

Случай 2: $a = -2$ и $b = 2$.

Система для $x$ и $y$ выглядит так:

$ \begin{cases} x+y = -2 \\ x-3y = 2 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x+y) - (x-3y) = -2 - 2$

$4y = -4 \implies y = -1$.

Подставим $y=-1$ в первое уравнение: $x + (-1) = -2 \implies x = -1$.

Получаем второе решение: $(-1, -1)$.

Ответ: $(2, 0)$, $(-1, -1)$.