Номер 24, страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

24. (3)

$3 \frac{(\sin^4 x + \cos^4 x)}{\cos^4 x} = 10 \frac{(1-\cos 2x)}{(1+\cos 2x)}.$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели в уравнении не должны равняться нулю:

1. Из знаменателя левой части: $\cos^4 x \neq 0$, что означает $\cos x \neq 0$, следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Из знаменателя правой части: $1 + \cos 2x \neq 0$, что означает $\cos 2x \neq -1$. Решая это, получаем $2x \neq \pi + 2\pi k$, откуда $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Оба условия идентичны, поэтому ОДЗ уравнения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь упростим обе части уравнения.

Преобразуем левую часть. Так как по ОДЗ $\cos x \neq 0$, мы можем почленно разделить числитель на знаменатель:$3 \frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{\cos^4 x} = 3 \left(\frac{\sin^4 x}{\cos^4 x} + \frac{\cos^4 x}{\cos^4 x}\right) = 3(\tan^4 x + 1)$.

Преобразуем правую часть, используя формулы двойного угла для косинуса: $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ и $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$:$10 \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x} = 10 \frac{2\sin^2 x}{2\cos^2 x} = 10 \tan^2 x$.

После преобразований исходное уравнение принимает вид:$3(\tan^4 x + 1) = 10 \tan^2 x$.

Это биквадратное уравнение относительно $\tan x$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = \tan^2 x$. Поскольку квадрат действительного числа всегда неотрицателен, то $y \ge 0$.Подставляем $y$ в уравнение:$3(y^2 + 1) = 10y$$3y^2 + 3 = 10y$$3y^2 - 10y + 3 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.Корни уравнения:$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$.

$y_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$y_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Оба корня ($y_1 = 1/3$ и $y_2 = 3$) положительны, поэтому они удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

Случай 1: $\tan^2 x = y_1 = \frac{1}{3}$.

Из этого следует, что $\tan x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.Это дает две серии решений:$x = \arctan\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, что можно записать как $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\tan^2 x = y_2 = 3$.

Из этого следует, что $\tan x = \pm \sqrt{3}$.Это дает еще две серии решений:$x = \arctan(\pm\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, что можно записать как $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Все найденные решения принадлежат области допустимых значений.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z};~x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.