Номер 3, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. $ \cos 2x = \cos x - \sin x $.

3. Для решения уравнения $cos(2x) = cos(x) - sin(x)$ воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Применим формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$cos^2(x) - sin^2(x) = cos(x) - sin(x)$

Левую часть уравнения можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x)) = cos(x) - sin(x)$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$(cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x)) - (cos(x) - sin(x)) = 0$

Вынесем общий множитель $(cos(x) - sin(x))$ за скобки:

$(cos(x) - sin(x))((cos(x) + sin(x)) - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

1) $cos(x) - sin(x) = 0$

2) $cos(x) + sin(x) - 1 = 0$

Решим первое уравнение:

$cos(x) - sin(x) = 0 \implies cos(x) = sin(x)$

Если предположить, что $cos(x) = 0$, то из уравнения следует, что и $sin(x) = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. Следовательно, $cos(x) \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $cos(x)$:

$\frac{sin(x)}{cos(x)} = 1$

$tan(x) = 1$

Отсюда находим первую серию решений:

$x = arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим второе уравнение:

$cos(x) + sin(x) = 1$

Это уравнение вида $a \cdot cos(x) + b \cdot sin(x) = c$. Для его решения воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}cos(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}sin(x)) = 1$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = cos(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = sin(\frac{\pi}{4})$. Используя формулу косинуса разности $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$, получаем:

$\sqrt{2}(cos(x)cos(\frac{\pi}{4}) + sin(x)sin(\frac{\pi}{4})) = 1$

$\sqrt{2}cos(x - \frac{\pi}{4}) = 1$

$cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, которое имеет две серии решений:

$x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим оба случая:

а) $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

б) $x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = 2\pi k$

Таким образом, мы получили еще две серии решений.

Объединим все найденные решения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$; $x = 2\pi k$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.