Номер 8, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8.$x^2 \sin x - x^2 \sqrt{3} \cos x - \sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$

Данное уравнение представляет собой уравнение смешанного типа, содержащее как полиномиальную часть от переменной $x$, так и тригонометрические функции. Для его решения применим метод разложения на множители.

Исходное уравнение:$x^2 \sin x - x^2 \sqrt{3} \cos x - \sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$

Сгруппируем слагаемые: первые два и последние два.$(x^2 \sin x - x^2 \sqrt{3} \cos x) - (\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^2$, а во второй группе вынесем $-1$:$x^2(\sin x - \sqrt{3} \cos x) - 1(\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0$

Теперь видно, что у нас есть общий множитель $(\sin x - \sqrt{3} \cos x)$, который мы также можем вынести за скобки:$(x^2 - 1)(\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - 1 = 0$

2) $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$

Решим каждое уравнение по отдельности.

Решение первого уравнения:$x^2 - 1 = 0$$x^2 = 1$Отсюда получаем два корня: $x = 1$ и $x = -1$.

Решение второго уравнения:$\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Перенесем второе слагаемое в правую часть:$\sin x = \sqrt{3} \cos x$

Разделим обе части уравнения на $\cos x$. Мы можем это сделать, так как $\cos x \neq 0$. Если бы $\cos x = 0$, то из уравнения следовало бы, что $\sin x = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

$\frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3}$

$\tan x = \sqrt{3}$

Находим корни этого тригонометрического уравнения:$x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединив решения обоих уравнений, получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \pm 1$; $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.