Номер 13, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. $\sin(2x+\text{arctg}\sqrt{3})+\sin\left(x+\arcsin\frac{1}{2}\right)=2\cos\left(x+\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\text{tg}\frac{\pi}{4}$

Для решения данного уравнения сначала упростим его, вычислив значения аркфункций и тангенса:

$arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$

$arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$

$arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$

$tg(\frac{\pi}{4}) = 1$

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$sin(2x + \frac{\pi}{3}) + sin(x + \frac{\pi}{6}) = 2cos(x + \frac{\pi}{6}) + 1$

Заметим, что аргумент первой функции $2x + \frac{\pi}{3}$ вдвое больше аргумента $x + \frac{\pi}{6}$ у других функций: $2x + \frac{\pi}{3} = 2(x + \frac{\pi}{6})$. Это позволяет сделать замену переменной для упрощения уравнения. Пусть $y = x + \frac{\pi}{6}$. Тогда $2y = 2x + \frac{\pi}{3}$. Уравнение принимает вид:

$sin(2y) + sin(y) = 2cos(y) + 1$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Применим формулу синуса двойного угла $sin(2y) = 2sin(y)cos(y)$ и перенесем все члены в левую часть:

$2sin(y)cos(y) + sin(y) - 2cos(y) - 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$sin(y)(2cos(y) + 1) - 1(2cos(y) + 1) = 0$

$(sin(y) - 1)(2cos(y) + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

1) $sin(y) - 1 = 0 \implies sin(y) = 1$

2) $2cos(y) + 1 = 0 \implies cos(y) = -\frac{1}{2}$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Решаем уравнение $sin(y) = 1$.

Общее решение: $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сделаем обратную замену $y = x + \frac{\pi}{6}$:

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$x = \frac{3\pi - \pi}{6} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решаем уравнение $cos(y) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение: $y = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Это дает две серии решений. Рассмотрим каждую из них:

а) $y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Выполняем обратную замену:

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

$x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$x = \frac{4\pi - \pi}{6} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Выполняем обратную замену:

$x + \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

$x = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$x = \frac{-4\pi - \pi}{6} + 2\pi k$

$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединив все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n; x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k; x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.